Номер 28.45, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.45, страница 165.

Условие.

28.45 Решите уравнение:

а) $x^2 + (\sqrt{x})^2 - 2 = 0;$

б) $x^2 + (\sqrt{x - 2})^2 - 4 = 0;$

в) $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 - 4 = 0;$

г) $x^2 + (\sqrt{x + 3})^2 - 15 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 + (\sqrt{x})^2 - 2 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Теперь упростим уравнение. Используя свойство $(\sqrt{a})^2 = a$ для $a \ge 0$, получаем:

$x^2 + x - 2 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$). Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge 0$. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $1$.

б) $x^2 + (\sqrt{x-2})^2 - 4 = 0$

ОДЗ для данного уравнения определяется условием $x - 2 \ge 0$, что означает $x \ge 2$.

Упростим уравнение, зная, что $(\sqrt{x-2})^2 = x-2$ при $x \ge 2$:

$x^2 + (x - 2) - 4 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 2$. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 2$, поэтому он является посторонним.

Ответ: $2$.

в) $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 - 4 = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Упростим исходное уравнение:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{3+5}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{3-5}{2} = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$). Корень $x_1 = 4$ подходит. Корень $x_2 = -1$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $4$.

г) $x^2 + (\sqrt{x+3})^2 - 15 = 0$

ОДЗ уравнения определяется условием $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Упростим уравнение:

$x^2 + (x + 3) - 15 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-12$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge -3$. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < -3$, и является посторонним.

Ответ: $3$.