Номер 28.40, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.40, страница 165.

Условие.

28.40 В чемпионате по волейболу было сыграно 66 матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если каждая команда играла с каждой по одному разу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть в чемпионате участвовало $n$ команд.

По условию задачи, каждая команда играла с каждой другой командой ровно один раз. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Количество матчей равно числу способов выбрать 2 команды из $n$ имеющихся, поскольку каждый матч — это игра между двумя командами.

Число сочетаний из $n$ элементов по 2 вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Нам известно, что всего было сыграно 66 матчей. Следовательно, мы можем составить уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 66$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 66 \cdot 2$ $n(n-1) = 132$

Мы получили уравнение, которое можно решить подбором (найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132) или как квадратное уравнение. Приведем его к стандартному виду $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - n = 132$ $n^2 - n - 132 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{1 + \sqrt{529}}{2} = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $n_2 = \frac{1 - \sqrt{529}}{2} = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Поскольку количество команд не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -11$ не является решением задачи. Следовательно, в чемпионате участвовало 12 команд.

Ответ: 12