Номер 28.35, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.35, страница 164.

Условие.

28.35 Завод выпускал миксеры по цене 2500 рублей за штуку. Предполагалось, что при постепенном внедрении новой технологии производства стоимость изделия ежемесячно будет уменьшаться на один и тот же процент в течение нескольких месяцев. Однако оказалось, что за второй месяц стоимость изделия снизилась на 10 % больше, чем предполагалось. На сколько процентов предполагалось снижать стоимость миксера, если после двух месяцев его цена составила 1800 рублей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $P_0$ — начальная цена миксера, $P_0 = 2500$ рублей.

Пусть $p$ — предполагаемый ежемесячный процент снижения стоимости.

Тогда коэффициент, на который планировалось умножать цену каждый месяц, равен $k = 1 - \frac{p}{100}$.

Цена миксера после первого месяца, $P_1$, должна была снизиться по плану. Она рассчитывается как:

$P_1 = P_0 \cdot (1 - \frac{p}{100}) = 2500 \cdot k$

Во второй месяц снижение стоимости оказалось на 10% больше, чем предполагалось. Это означает, что фактическое снижение составило $(p + 10)\%$.

Цена миксера после второго месяца, $P_2$, рассчитывается от цены $P_1$:

$P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{p + 10}{100})$

По условию, $P_2 = 1800$ рублей. Подставим в это уравнение выражение для $P_1$:

$1800 = (2500 \cdot k) \cdot (1 - \frac{p + 10}{100})$

Преобразуем второй множитель, чтобы выразить его через $k$:

$1 - \frac{p + 10}{100} = 1 - \frac{p}{100} - \frac{10}{100} = (1 - \frac{p}{100}) - 0.1 = k - 0.1$

Теперь подставим это выражение в наше основное уравнение:

$1800 = 2500 \cdot k \cdot (k - 0.1)$

Мы получили уравнение относительно $k$. Решим его. Сначала разделим обе части на 100:

$18 = 25 \cdot k \cdot (k - 0.1)$

Раскроем скобки:

$18 = 25k^2 - 2.5k$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$25k^2 - 2.5k - 18 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:

$50k^2 - 5k - 36 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-36) = 25 + 7200 = 7225$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{7225} = 85$.

Теперь найдем значения $k$:

$k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 85}{2 \cdot 50} = \frac{5 \pm 85}{100}$

У нас есть два возможных решения для $k$:

$k_1 = \frac{5 + 85}{100} = \frac{90}{100} = 0.9$

$k_2 = \frac{5 - 85}{100} = \frac{-80}{100} = -0.8$

Поскольку $k$ — это коэффициент снижения цены, он должен быть положительным числом (цена не может быть отрицательной), поэтому корень $k_2 = -0.8$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, мы выбираем $k = 0.9$.

Теперь найдем искомый процент $p$ из формулы $k = 1 - \frac{p}{100}$:

$0.9 = 1 - \frac{p}{100}$

$\frac{p}{100} = 1 - 0.9$

$\frac{p}{100} = 0.1$

$p = 0.1 \cdot 100 = 10$

Таким образом, предполагалось снижать стоимость миксера на 10% ежемесячно.

Проверка:

1. Начальная цена: 2500 руб.

2. Цена после первого месяца (снижение на 10%): $2500 \cdot (1 - 0.1) = 2500 \cdot 0.9 = 2250$ руб.

3. Процент снижения во второй месяц (на 10% больше планового): $10\% + 10\% = 20\%$.

4. Цена после второго месяца (снижение на 20%): $2250 \cdot (1 - 0.2) = 2250 \cdot 0.8 = 1800$ руб.

Результат совпадает с данными в условии задачи.

Ответ: 10%.