Страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

28.31 В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой — на 4 см. Найдите гипотенузу.

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна c см. Согласно условию задачи, один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой — на 4 см. Обозначим катеты как a и b. Тогда их длины можно выразить через длину гипотенузы c:

$a = c - 8$ (см)
$b = c - 4$ (см)

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для катетов a и b в это уравнение:

$(c - 8)^2 + (c - 4)^2 = c^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(c^2 - 2 \cdot c \cdot 8 + 8^2) + (c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2) = c^2$

$c^2 - 16c + 64 + c^2 - 8c + 16 = c^2$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2c^2 - 24c + 80 = c^2$

$2c^2 - c^2 - 24c + 80 = 0$

$c^2 - 24c + 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$c_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$c_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для длины гипотенузы: 20 см и 4 см. Необходимо проверить, удовлетворяют ли они условиям задачи.

1. Если гипотенуза $c = 20$ см, то длины катетов равны:
$a = 20 - 8 = 12$ см
$b = 20 - 4 = 16$ см
Длины всех сторон положительны (12 см, 16 см, 20 см), что является необходимым условием для существования треугольника. Этот корень подходит.

2. Если гипотенуза $c = 4$ см, то длины катетов равны:
$a = 4 - 8 = -4$ см
Длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

Таким образом, единственно возможная длина гипотенузы составляет 20 см.

Ответ: 20 см.

28.32 Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа.

Пусть первое из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число равно $n+1$. По определению, натуральные числа — это целые положительные числа, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Сумма квадратов этих чисел выражается формулой $n^2 + (n+1)^2$.

Их произведение равно $n(n+1)$.

По условию задачи, сумма квадратов больше их произведения на 307. Это можно записать в виде уравнения: $n^2 + (n+1)^2 = n(n+1) + 307$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки: $n^2 + (n^2 + 2n + 1) = n^2 + n + 307$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые: $2n^2 + 2n + 1 = n^2 + n + 307$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $(2n^2 - n^2) + (2n - n) + (1 - 307) = 0$ $n^2 + n - 306 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу корней через дискриминант. Для уравнения $an^2+bn+c=0$ дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-306$. $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225$

Теперь найдем корни уравнения $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$ $n_1 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$ $n_2 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку мы ищем натуральные числа, корень $n_2 = -18$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, единственное подходящее значение для первого числа — это $n = 17$.

Если первое число равно 17, то второе последовательное число равно $n+1 = 17+1 = 18$.

Проверим, удовлетворяют ли числа 17 и 18 условию задачи:

• Сумма их квадратов: $17^2 + 18^2 = 289 + 324 = 613$.
• Их произведение: $17 \cdot 18 = 306$.
• Разность между суммой квадратов и произведением: $613 - 306 = 307$.

Условие выполнено.

Ответ: 17 и 18.

28.33 Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 840. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число будет $n$, тогда следующее за ним натуральное число будет $n+1$.

Сумма этих двух чисел равна $n + (n+1) = 2n + 1$.

Квадрат их суммы равен $(2n+1)^2$.

Сумма их квадратов равна $n^2 + (n+1)^2$.

Согласно условию задачи, квадрат суммы этих чисел на 840 больше, чем сумма их квадратов. Мы можем составить следующее уравнение:
$(2n+1)^2 = n^2 + (n+1)^2 + 840$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в обеих частях:
$(2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = n^2 + (n^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) + 840$
$4n^2 + 4n + 1 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + 840$
$4n^2 + 4n + 1 = 2n^2 + 2n + 841$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$(4n^2 - 2n^2) + (4n - 2n) + (1 - 841) = 0$
$2n^2 + 2n - 840 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$n^2 + n - 420 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$
Найдем корни уравнения:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 41}{2}$
$n_1 = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$n_2 = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как в условии говорится о натуральных числах, корень $n_2 = -21$ не подходит. Следовательно, первое число равно 20.

Второе последовательное число: $n+1 = 20+1 = 21$.

Проверка:
Квадрат суммы: $(20+21)^2 = 41^2 = 1681$.
Сумма квадратов: $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.
Разница: $1681 - 841 = 840$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 20 и 21.

28.34 Вкладчик положил в банк 10 000 р. под некоторый процент годовых. В конце первого года банк увеличил процент годовых на 5%. Под какой процент были положены деньги, если после двух лет хранения денег в банке вкладчик получил 11 550 рублей?

Пусть $S_0$ — первоначальная сумма вклада, $S_2$ — итоговая сумма через два года, а $x$ — первоначальная процентная ставка в процентах годовых.

По условию задачи:
$S_0 = 10\,000$ рублей.
$S_2 = 11\,550$ рублей.

Процентная ставка в первый год составляет $x\%$. Для расчетов переведем ее в десятичную дробь: $r_1 = \frac{x}{100}$.
Сумма на счете в конце первого года ($S_1$) вычисляется по формуле сложных процентов:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + r_1) = 10\,000 \cdot (1 + \frac{x}{100})$.

В конце первого года банк увеличил процентную ставку на 5%. Таким образом, процентная ставка на второй год стала $(x + 5)\%$.
В виде десятичной дроби новая ставка: $r_2 = \frac{x+5}{100}$.

Сумма на счете в конце второго года ($S_2$) рассчитывается на основе суммы $S_1$ и новой процентной ставки $r_2$:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + r_2) = \left(10\,000 \cdot (1 + \frac{x}{100})\right) \cdot (1 + \frac{x+5}{100})$.

Подставим известное значение $S_2$ и составим уравнение:
$11\,550 = 10\,000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+5}{100})$.

Разделим обе части уравнения на 10 000:
$\frac{11\,550}{10\,000} = (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+5}{100})$
$1.155 = (\frac{100+x}{100}) \cdot (\frac{100+x+5}{100})$
$1.155 = \frac{(100+x)(105+x)}{10\,000}$.

Умножим обе части на 10 000:
$11\,550 = (100+x)(105+x)$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$11\,550 = 100 \cdot 105 + 100x + 105x + x^2$
$11\,550 = 10\,500 + 205x + x^2$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 205x + 10\,500 - 11\,550 = 0$
$x^2 + 205x - 1050 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 205^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1050) = 42\,025 + 4200 = 46\,225$.

Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{46\,225} = 215$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-205 + 215}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{-205 - 215}{2 \cdot 1} = \frac{-420}{2} = -210$.

Так как процентная ставка не может быть отрицательной, корень $x_2 = -210$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная процентная ставка была 5%.

Проверим решение:
1. Сумма после первого года под 5%: $10\,000 \cdot (1 + 0.05) = 10\,500$ рублей.
2. Новая ставка на второй год: $5\% + 5\% = 10\%$.
3. Сумма после второго года под 10%: $10\,500 \cdot (1 + 0.10) = 10\,500 \cdot 1.1 = 11\,550$ рублей.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 5%.

28.35 Завод выпускал миксеры по цене 2500 рублей за штуку. Предполагалось, что при постепенном внедрении новой технологии производства стоимость изделия ежемесячно будет уменьшаться на один и тот же процент в течение нескольких месяцев. Однако оказалось, что за второй месяц стоимость изделия снизилась на 10 % больше, чем предполагалось. На сколько процентов предполагалось снижать стоимость миксера, если после двух месяцев его цена составила 1800 рублей?

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $P_0$ — начальная цена миксера, $P_0 = 2500$ рублей.

Пусть $p$ — предполагаемый ежемесячный процент снижения стоимости.

Тогда коэффициент, на который планировалось умножать цену каждый месяц, равен $k = 1 - \frac{p}{100}$.

Цена миксера после первого месяца, $P_1$, должна была снизиться по плану. Она рассчитывается как:

$P_1 = P_0 \cdot (1 - \frac{p}{100}) = 2500 \cdot k$

Во второй месяц снижение стоимости оказалось на 10% больше, чем предполагалось. Это означает, что фактическое снижение составило $(p + 10)\%$.

Цена миксера после второго месяца, $P_2$, рассчитывается от цены $P_1$:

$P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{p + 10}{100})$

По условию, $P_2 = 1800$ рублей. Подставим в это уравнение выражение для $P_1$:

$1800 = (2500 \cdot k) \cdot (1 - \frac{p + 10}{100})$

Преобразуем второй множитель, чтобы выразить его через $k$:

$1 - \frac{p + 10}{100} = 1 - \frac{p}{100} - \frac{10}{100} = (1 - \frac{p}{100}) - 0.1 = k - 0.1$

Теперь подставим это выражение в наше основное уравнение:

$1800 = 2500 \cdot k \cdot (k - 0.1)$

Мы получили уравнение относительно $k$. Решим его. Сначала разделим обе части на 100:

$18 = 25 \cdot k \cdot (k - 0.1)$

Раскроем скобки:

$18 = 25k^2 - 2.5k$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$25k^2 - 2.5k - 18 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:

$50k^2 - 5k - 36 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-36) = 25 + 7200 = 7225$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{7225} = 85$.

Теперь найдем значения $k$:

$k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 85}{2 \cdot 50} = \frac{5 \pm 85}{100}$

У нас есть два возможных решения для $k$:

$k_1 = \frac{5 + 85}{100} = \frac{90}{100} = 0.9$

$k_2 = \frac{5 - 85}{100} = \frac{-80}{100} = -0.8$

Поскольку $k$ — это коэффициент снижения цены, он должен быть положительным числом (цена не может быть отрицательной), поэтому корень $k_2 = -0.8$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, мы выбираем $k = 0.9$.

Теперь найдем искомый процент $p$ из формулы $k = 1 - \frac{p}{100}$:

$0.9 = 1 - \frac{p}{100}$

$\frac{p}{100} = 1 - 0.9$

$\frac{p}{100} = 0.1$

$p = 0.1 \cdot 100 = 10$

Таким образом, предполагалось снижать стоимость миксера на 10% ежемесячно.

Проверка:

1. Начальная цена: 2500 руб.

2. Цена после первого месяца (снижение на 10%): $2500 \cdot (1 - 0.1) = 2500 \cdot 0.9 = 2250$ руб.

3. Процент снижения во второй месяц (на 10% больше планового): $10\% + 10\% = 20\%$.

4. Цена после второго месяца (снижение на 20%): $2250 \cdot (1 - 0.2) = 2250 \cdot 0.8 = 1800$ руб.

Результат совпадает с данными в условии задачи.

Ответ: 10%.

Решите уравнение:

28.36 a) $x^2 + 3\sqrt{2x+4} = 0$;

б) $4x^2 + 4\sqrt{3x+1} = 0$;

в) $x^2 - 3\sqrt{5x-20} = 0$;

г) $4x^2 - 2\sqrt{7x+1} = 0$.

а) $x^2 + 3\sqrt{2x} + 4 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Рассмотрим левую часть уравнения при $x \ge 0$:

• $x^2 \ge 0$ для любого $x$.
• $\sqrt{2x} \ge 0$, следовательно $3\sqrt{2x} \ge 0$.
• 4 - положительная константа.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($x^2$ и $3\sqrt{2x}$) и положительного слагаемого (4) всегда будет положительной. $x^2 + 3\sqrt{2x} + 4 \ge 0 + 0 + 4 = 4$.

Левая часть уравнения всегда больше или равна 4, поэтому она никогда не может быть равна нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б) $4x^2 + 4\sqrt{3x} + 1 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $3x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Рассмотрим левую часть уравнения при $x \ge 0$:

• $4x^2 \ge 0$ для любого $x$.
• $\sqrt{3x} \ge 0$, следовательно $4\sqrt{3x} \ge 0$.
• 1 - положительная константа.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($4x^2$ и $4\sqrt{3x}$) и положительного слагаемого (1) всегда будет положительной. $4x^2 + 4\sqrt{3x} + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$.

Левая часть уравнения всегда больше или равна 1, поэтому она никогда не может быть равна нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

в) $x^2 - 3\sqrt{5x} - 20 = 0$

Найдем ОДЗ: $5x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Это уравнение в данном виде не имеет простых аналитических решений и приводит к уравнению четвертой степени, не имеющему рациональных корней. В учебных задачах такого типа часто встречаются опечатки. Весьма вероятно, что в условии была допущена ошибка.

Одна из возможных опечаток, которая приводит к "красивому" целочисленному ответу, — это ошибка в коэффициенте перед радикалом. Предположим, что уравнение должно было выглядеть так: $x^2 - \sqrt{5x} - 20 = 0$.

Решим это исправленное уравнение. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $t^4 - \sqrt{5}t - 20 = 0$. Эта замена не упрощает задачу.

Попробуем угадать корень. Так как под корнем стоит $5x$, попробуем подставить $x=5$. Для уравнения $x^2 - \sqrt{5x} - 20 = 0$: $5^2 - \sqrt{5 \cdot 5} - 20 = 25 - \sqrt{25} - 20 = 25 - 5 - 20 = 0$. $0 = 0$. Следовательно, $x=5$ является корнем исправленного уравнения.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - \sqrt{5x} - 20$. Ее производная $f'(x) = 2x - \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$. При $x > 0$, $f'(x) = \frac{4x\sqrt{x}-\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$. Производная обращается в ноль при $4x\sqrt{x} = \sqrt{5}$, что дает единственную точку минимума. Следовательно, уравнение $f(x)=0$ может иметь не более двух корней. Так как $f(x)$ возрастает при $x>5$, других положительных корней нет.

Ответ: при условии, что в уравнении допущена опечатка и оно имеет вид $x^2 - \sqrt{5x} - 20 = 0$, корень равен 5.

г) $4x^2 - 2\sqrt{7x} + 1 = 0$

Найдем ОДЗ: $7x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 4x^2 - 2\sqrt{7x} + 1$. Мы ищем нули этой функции.

Проверим значения функции в некоторых точках:

• При $x=0$: $f(0) = 4(0)^2 - 2\sqrt{7 \cdot 0} + 1 = 1$.
• При $x=1$: $f(1) = 4(1)^2 - 2\sqrt{7 \cdot 1} + 1 = 5 - 2\sqrt{7} = 5 - \sqrt{28}$. Поскольку $5 = \sqrt{25}$, а $\sqrt{25} < \sqrt{28}$, то $5 - \sqrt{28} < 0$.

Так как функция $f(x)$ непрерывна на $[0, \infty)$, $f(0)=1 > 0$ и $f(1) < 0$, то по теореме о промежуточных значениях на интервале $(0, 1)$ существует как минимум один корень уравнения.

Также можно показать, что при $x \to \infty$, $f(x) \to +\infty$, что вместе с наличием отрицательного значения функции указывает на существование второго корня при $x>1$.

Таким образом, данное уравнение имеет два действительных корня. Однако, как и в предыдущем пункте, эти корни не могут быть выражены через простые числа или радикалы. Попытка решить уравнение аналитически приводит к уравнению четвертой степени без рациональных корней.

Ответ: уравнение имеет два действительных корня, которые не могут быть найдены простыми аналитическими методами.

28.37 a) $(2x - 1)(2x + 1) + x(x - 1) = 2x(x + 1);$

б) $(3x + 1)^2 - x(7x + 5) = 4;$

в) $(3x - 1)(3x + 1) - 2x(1 + 4x) = -2;$

г) $(2x + 1)^2 + 2 = 2 - 6x^2.$

а) Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и распределительный закон.
$(2x - 1)(2x + 1) + x(x - 1) = 2x(x + 1)$
$((2x)^2 - 1^2) + (x \cdot x - x \cdot 1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1$
$(4x^2 - 1) + (x^2 - x) = 2x^2 + 2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - x - 1 = 2x^2 + 2x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$5x^2 - 2x^2 - x - 2x - 1 = 0$
$3x^2 - 3x - 1 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 9 + 12 = 21$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$
Ответ: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$.

б) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и распределительный закон.
$(3x + 1)^2 - x(7x + 5) = 4$
$((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) - (x \cdot 7x + x \cdot 5) = 4$
$(9x^2 + 6x + 1) - (7x^2 + 5x) = 4$
$9x^2 + 6x + 1 - 7x^2 - 5x = 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 - 7x^2) + (6x - 5x) + 1 = 4$
$2x^2 + x + 1 = 4$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x + 1 - 4 = 0$
$2x^2 + x - 3 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-1 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$
Ответ: $1; -1.5$.

в) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов и распределительный закон.
$(3x - 1)(3x + 1) - 2x(1 + 4x) = -2$
$((3x)^2 - 1^2) - (2x \cdot 1 + 2x \cdot 4x) = -2$
$(9x^2 - 1) - (2x + 8x^2) = -2$
$9x^2 - 1 - 2x - 8x^2 = -2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 - 8x^2) - 2x - 1 = -2$
$x^2 - 2x - 1 = -2$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 2x - 1 + 2 = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Левая часть является полным квадратом разности: $(x-1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $x - 1 = 0$.
$x = 1$
Ответ: $1$.

г) Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы.
$(2x + 1)^2 + 2 = 2 - 6x^2$
$((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) + 2 = 2 - 6x^2$
$(4x^2 + 4x + 1) + 2 = 2 - 6x^2$
$4x^2 + 4x + 3 = 2 - 6x^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$4x^2 + 6x^2 + 4x + 3 - 2 = 0$
$10x^2 + 4x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 16 - 40 = -24$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

28.38 a) $\frac{x^2 - x}{3} = \frac{2x + 4}{5}$;

б) $\frac{x^2 - 3}{2} - 6x = 5$;

в) $\frac{2x^2 + x}{5} = \frac{4x - 2}{3}$;

г) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{5x - 1}{6} = \frac{x^2 + 17}{9}$.

а)

Дано уравнение: $\frac{x^2 - x}{3} = \frac{2x + 4}{5}$.

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции, выполнив перекрестное умножение:

$5(x^2 - x) = 3(2x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x^2 - 5x = 6x + 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 5x - 6x - 12 = 0$

$5x^2 - 11x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

$x_1 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{11 - 19}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -0.8$.

б)

Дано уравнение: $\frac{x^2 - 3}{2} - 6x = 5$.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (\frac{x^2 - 3}{2}) - 2 \cdot 6x = 2 \cdot 5$

$x^2 - 3 - 12x = 10$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 12x - 3 - 10 = 0$

$x^2 - 12x - 13 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

$x_1 = \frac{-(-12) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x_2 = \frac{-(-12) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 14}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 13$, $x_2 = -1$.

в)

Дано уравнение: $\frac{2x^2 + x}{5} = \frac{4x - 2}{3}$.

Применим правило пропорции (перекрестное умножение):

$3(2x^2 + x) = 5(4x - 2)$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 3x = 20x - 10$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$6x^2 + 3x - 20x + 10 = 0$

$6x^2 - 17x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 289 - 240 = 49$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

$x_1 = \frac{-(-17) + 7}{2 \cdot 6} = \frac{17 + 7}{12} = \frac{24}{12} = 2$

$x_2 = \frac{-(-17) - 7}{2 \cdot 6} = \frac{17 - 7}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{5}{6}$.

г)

Дано уравнение: $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{5x - 1}{6} = \frac{x^2 + 17}{9}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 3, 6 и 9. НОЗ(3, 6, 9) = 18.

Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от дробей:

$18 \cdot \frac{4x^2 + x}{3} - 18 \cdot \frac{5x - 1}{6} = 18 \cdot \frac{x^2 + 17}{9}$

$6(4x^2 + x) - 3(5x - 1) = 2(x^2 + 17)$

Раскроем скобки:

$24x^2 + 6x - 15x + 3 = 2x^2 + 34$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$24x^2 - 9x + 3 = 2x^2 + 34$

Перенесем все члены в левую часть:

$24x^2 - 2x^2 - 9x + 3 - 34 = 0$

$22x^2 - 9x - 31 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 2728 = 2809$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53$

$x_1 = \frac{-(-9) + 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22}$

$x_2 = \frac{-(-9) - 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 - 53}{44} = \frac{-44}{44} = -1$

Ответ: $x_1 = \frac{31}{22}$, $x_2 = -1$.

28.39 Из данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня при любом значении параметра p:

а) $x^2 + px = 0$;

б) $x^2 - px - 5 = 0$;

в) $x^2 + px + 5 = 0$;

г) $px^2 - 2 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, его дискриминант должен быть строго больше нуля. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Условие наличия двух различных корней: $D > 0$. Проверим это условие для каждого из предложенных уравнений при любом значении параметра $p$.

а) $x^2 + px = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=p$, $c=0$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = p^2$.
Условие $D > 0$ принимает вид $p^2 > 0$.
Данное неравенство выполняется для любых значений $p$, кроме $p=0$. При $p=0$ дискриминант $D=0$, и уравнение имеет один корень ($x=0$). Следовательно, данное уравнение не имеет двух различных корней при любом значении параметра $p$.

б) $x^2 - px - 5 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-p$, $c=-5$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = p^2 + 20$.
Условие $D > 0$ принимает вид $p^2 + 20 > 0$.
Поскольку $p^2 \ge 0$ для любого действительного числа $p$, то $p^2 + 20 \ge 20$. А так как $20 > 0$, то неравенство $p^2 + 20 > 0$ выполняется при любом значении параметра $p$.
Следовательно, данное уравнение всегда имеет два различных корня.

в) $x^2 + px + 5 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=p$, $c=5$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = p^2 - 20$.
Условие $D > 0$ принимает вид $p^2 - 20 > 0$.
Это неравенство выполняется не для всех значений $p$. Например, при $p=1$ получаем $D = 1^2 - 20 = -19 < 0$, и в этом случае уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, данное уравнение не имеет двух различных корней при любом значении параметра $p$.

г) $px^2 - 2 = 0$
Данное уравнение является квадратным только при $p \neq 0$.
1. Если $p=0$, уравнение принимает вид $-2=0$. Это неверное равенство, значит, при $p=0$ уравнение не имеет корней. Уже на этом шаге можно сделать вывод, что данное уравнение не удовлетворяет условию задачи.
2. Если $p \neq 0$, то это квадратное уравнение с коэффициентами $a=p$, $b=0$, $c=-2$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot p \cdot (-2) = 8p$.
Условие $D > 0$ принимает вид $8p > 0$, что эквивалентно $p > 0$.
Это условие выполняется только для положительных значений $p$, а не для любых. Например, при $p=-1$ дискриминант $D = -8 < 0$, и уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, данное уравнение не имеет двух различных корней при любом значении параметра $p$.

Таким образом, проанализировав все уравнения, мы приходим к выводу, что только уравнение б) имеет два различных корня при любом значении параметра $p$.
Ответ: б) $x^2 - px - 5 = 0$.