Номер 28.31, страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.31, страница 164.

Условие.

28.31 В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой — на 4 см. Найдите гипотенузу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна c см. Согласно условию задачи, один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой — на 4 см. Обозначим катеты как a и b. Тогда их длины можно выразить через длину гипотенузы c:

$a = c - 8$ (см)
$b = c - 4$ (см)

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для катетов a и b в это уравнение:

$(c - 8)^2 + (c - 4)^2 = c^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(c^2 - 2 \cdot c \cdot 8 + 8^2) + (c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2) = c^2$

$c^2 - 16c + 64 + c^2 - 8c + 16 = c^2$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2c^2 - 24c + 80 = c^2$

$2c^2 - c^2 - 24c + 80 = 0$

$c^2 - 24c + 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$c_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$c_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для длины гипотенузы: 20 см и 4 см. Необходимо проверить, удовлетворяют ли они условиям задачи.

1. Если гипотенуза $c = 20$ см, то длины катетов равны:
$a = 20 - 8 = 12$ см
$b = 20 - 4 = 16$ см
Длины всех сторон положительны (12 см, 16 см, 20 см), что является необходимым условием для существования треугольника. Этот корень подходит.

2. Если гипотенуза $c = 4$ см, то длины катетов равны:
$a = 4 - 8 = -4$ см
Длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

Таким образом, единственно возможная длина гипотенузы составляет 20 см.

Ответ: 20 см.