Номер 28.30, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.30, страница 163.

Условие.

28.30 Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 32 см и больше другого на 9 см. Найдите стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $c$ — длина гипотенузы прямоугольного треугольника в сантиметрах, а $a$ и $b$ — длины его катетов.

Согласно условию задачи, гипотенуза больше одного из катетов на 32 см и больше другого на 9 см. Это можно записать в виде следующих соотношений:

$c = a + 32 \implies a = c - 32$

$c = b + 9 \implies b = c - 9$

Для любого треугольника длины его сторон должны быть положительными числами, поэтому $a > 0$ и $b > 0$. Из этого следует, что $c - 32 > 0$, то есть $c > 32$.

В прямоугольном треугольнике стороны связаны теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$ через $c$:

$(c - 32)^2 + (c - 9)^2 = c^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(c^2 - 2 \cdot c \cdot 32 + 32^2) + (c^2 - 2 \cdot c \cdot 9 + 9^2) = c^2$

$c^2 - 64c + 1024 + c^2 - 18c + 81 = c^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2c^2 - 82c + 1105 = c^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2c^2 - c^2 - 82c + 1105 = 0$

$c^2 - 82c + 1105 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-82)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1105 = 6724 - 4420 = 2304$

Найдем корни уравнения по формуле $c_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

$c_1 = \frac{82 + 48}{2} = \frac{130}{2} = 65$

$c_2 = \frac{82 - 48}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Теперь проверим оба найденных значения. Ранее мы установили, что должно выполняться условие $c > 32$.

Корень $c_2 = 17$ не удовлетворяет этому условию, так как $17 < 32$. Если бы гипотенуза была равна 17 см, то один из катетов имел бы отрицательную длину: $a = 17 - 32 = -15$ см, что физически невозможно.

Корень $c_1 = 65$ удовлетворяет условию $65 > 32$. Следовательно, длина гипотенузы равна 65 см.

Теперь найдем длины катетов:

$a = c - 32 = 65 - 32 = 33$ см

$b = c - 9 = 65 - 9 = 56$ см

Итак, стороны треугольника равны 33 см, 56 см и 65 см.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения в теорему Пифагора:

$33^2 + 56^2 = 1089 + 3136 = 4225$

$65^2 = 4225$

$4225 = 4225$. Равенство верно.

Ответ: стороны треугольника равны 33 см, 56 см и 65 см.