Номер 28.25, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.25, страница 163.

Условие.

28.25 Площадь прямоугольного треугольника равна 180 м$^2$. Найдите катеты этого треугольника, если один больше другого на 31 м.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины его катетов.

Пусть длина одного катета равна $x$ м. По условию задачи, другой катет на 31 м длиннее, следовательно, его длина составляет $(x + 31)$ м.

Площадь треугольника равна 180 м². Составим уравнение, подставив известные значения в формулу площади: $180 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 31)$

Для решения данного уравнения умножим обе его части на 2: $360 = x(x + 31)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $360 = x^2 + 31x$ $x^2 + 31x - 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401$

Теперь найдем корни уравнения по формулам $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-31 + \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$ $x_2 = \frac{-31 - \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку длина катета треугольника является положительной величиной, корень $x_2 = -40$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, длина одного катета равна $x = 9$ м.

Тогда длина второго катета будет равна $x + 31 = 9 + 31 = 40$ м.

Проверим найденное решение: площадь треугольника с катетами 9 м и 40 м равна $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 180$ м², что соответствует условию задачи.

Ответ: катеты треугольника равны 9 м и 40 м.