Номер 28.18, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.18, страница 162.

Условие.

28.18 a) $6x(2x + 1) = 5x + 1;$

б) $2x(x - 8) = -x - 18;$

в) $8x(1 + 2x) = -1;$

г) $x(x - 5) = 1 - 4x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $6x(2x + 1) = 5x + 1$
Первым шагом раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $6x$ на каждый член в скобках:
$6x \cdot 2x + 6x \cdot 1 = 5x + 1$
$12x^2 + 6x = 5x + 1$
Далее, перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$12x^2 + 6x - 5x - 1 = 0$
$12x^2 + x - 1 = 0$
Теперь решим это уравнение. Для этого найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты $a=12$, $b=1$, $c=-1$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 + 7}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{-1 - 7}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{4}$.

б) $2x(x - 8) = -x - 18$
Раскроем скобки в левой части:
$2x^2 - 16x = -x - 18$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду:
$2x^2 - 16x + x + 18 = 0$
$2x^2 - 15x + 18 = 0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант, где $a=2$, $b=-15$, $c=18$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81$
Дискриминант положительный, значит, есть два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ или $1.5$
Ответ: $1.5; 6$.

в) $8x(1 + 2x) = -1$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$8x + 16x^2 = -1$
Перенесем все в левую часть и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$16x^2 + 8x + 1 = 0$
Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата суммы: $(4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x + 1)^2$.
Таким образом, уравнение можно переписать как:
$(4x + 1)^2 = 0$
Это уравнение имеет единственное решение:
$4x + 1 = 0$
$4x = -1$
$x = -\frac{1}{4}$
В качестве альтернативы, можно было вычислить дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$. Если $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot 16} = -\frac{8}{32} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г) $x(x - 5) = 1 - 4x$
Раскроем скобки:
$x^2 - 5x = 1 - 4x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 - 5x + 4x - 1 = 0$
$x^2 - x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение, решим его с помощью дискриминанта. Здесь $a=1$, $b=-1$, $c=-1$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Поскольку $\sqrt{5}$ является иррациональным числом, запишем корни в иррациональном виде:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.