Номер 28.14, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.14, страница 162.

Условие.

28.14 a) $x^2 + 2x - 7 = 0;$

б) $2x^2 - 4x - 1 = 0;$

в) $x^2 + 6x + 3 = 0;$

г) $5x^2 - 10x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано квадратное уравнение $x^2 + 2x - 7 = 0$. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 2$, $c = -7$. Так как второй коэффициент $b=2$ является четным числом, удобно использовать формулу для четного второго коэффициента, где $k = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$. $D_1 = 1^2 - 1 \cdot (-7) = 1 + 7 = 8$. Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$. $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{8}}{1} = -1 \pm \sqrt{4 \cdot 2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
Ответ: $x_1 = -1 - 2\sqrt{2}, x_2 = -1 + 2\sqrt{2}$.

б) Дано квадратное уравнение $2x^2 - 4x - 1 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -4$, $c = -1$. Второй коэффициент $b = -4$ — четное число, поэтому используем формулу с $k = \frac{b}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$. $D_1 = (-2)^2 - 2 \cdot (-1) = 4 + 2 = 6$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$. $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{6}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$.

в) Дано квадратное уравнение $x^2 + 6x + 3 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 6$, $c = 3$. Второй коэффициент $b=6$ — четное число, поэтому используем формулу с $k = \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$. $D_1 = 3^2 - 1 \cdot 3 = 9 - 3 = 6$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$. $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{1} = -3 \pm \sqrt{6}$.
Ответ: $x_1 = -3 - \sqrt{6}, x_2 = -3 + \sqrt{6}$.

г) Дано квадратное уравнение $5x^2 - 10x + 1 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = -10$, $c = 1$. Второй коэффициент $b = -10$ — четное число, поэтому используем формулу с $k = \frac{b}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$. $D_1 = (-5)^2 - 5 \cdot 1 = 25 - 5 = 20$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$. $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{20}}{5} = \frac{5 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{5} = \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $x_1 = \frac{5 - 2\sqrt{5}}{5}, x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{5}$.