Номер 28.17, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.17, страница 162.

Условие.

28.17 a) $\frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{4} = 0;$

б) $x^2 + 5x + 2\frac{1}{4} = 0;$

в) $x^2 + 3x - 1\frac{1}{2} = 0;$

г) $x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{1}{6} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы решить квадратное уравнение $\frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{4} = 0$, избавимся от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:
$12 \cdot (\frac{1}{3}x^2 + x + \frac{1}{4}) = 12 \cdot 0$
$4x^2 + 12x + 3 = 0$
Теперь решим полученное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ с помощью формулы корней через дискриминант. Здесь коэффициенты $a=4$, $b=12$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 144 - 48 = 96$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-12 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 4} = \frac{-12 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{6}}{8}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{2}$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{6}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{-3 + \sqrt{6}}{2}$.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 5x + 2\frac{1}{4} = 0$.
Сначала представим смешанное число $2\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 5x + \frac{9}{4} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4(x^2 + 5x + \frac{9}{4}) = 4 \cdot 0$
$4x^2 + 20x + 9 = 0$.
Коэффициенты: $a=4$, $b=20$, $c=9$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 400 - 144 = 256$.
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-20 \pm 16}{2 \cdot 4} = \frac{-20 \pm 16}{8}$.
$x_1 = \frac{-20 + 16}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-20 - 16}{8} = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{9}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

в) Решим уравнение $x^2 + 3x - 1\frac{1}{2} = 0$.
Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Уравнение принимает вид: $x^2 + 3x - \frac{3}{2} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 2:
$2(x^2 + 3x - \frac{3}{2}) = 2 \cdot 0$
$2x^2 + 6x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=6$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$.
$\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4}$.
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}, x_2 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$.

г) Решим уравнение $x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{1}{6} = 0$.
Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 12 и 6, то есть на 12:
$12(x^2 - \frac{5}{12}x - \frac{1}{6}) = 12 \cdot 0$
$12x^2 - 5x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=12$, $b=-5$, $c=-2$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 25 + 96 = 121$.
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-5) \pm 11}{2 \cdot 12} = \frac{5 \pm 11}{24}$.
$x_1 = \frac{5 + 11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{5 - 11}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $x_1 = -\frac{1}{4}, x_2 = \frac{2}{3}$.