Номер 28.16, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.16, страница 162.

Условие.

28.16 a) $0.6x^2 + 0.8x - 7.8 = 0;$

б) $\frac{1}{4}x^2 - x + 1 = 0;$

в) $\frac{4}{5}x^2 - \frac{7}{5}x - \frac{3}{2} = 0;$

г) $0.2x^2 - 10x + 125 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $0,6x² + 0,8x - 7,8 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (0,6x² + 0,8x - 7,8) = 10 \cdot 0$

$6x² + 8x - 78 = 0$

Все коэффициенты являются четными числами, поэтому разделим уравнение на 2 для упрощения:

$3x² + 4x - 39 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В данном уравнении коэффициенты: $a = 3$, $b = 4$, $c = -39$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-39) = 16 + 468 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -\frac{13}{3}$.

б) $\frac{1}{4}x² - x + 1 = 0$

Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$4 \cdot (\frac{1}{4}x² - x + 1) = 4 \cdot 0$

$x² - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае это $(x-2)^2$.

$(x-2)^2 = 0$

Из этого следует, что $x-2 = 0$, и, соответственно, $x = 2$.

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня). Это можно проверить и через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$. При $D=0$ корень один.

Ответ: $x = 2$.

в) $\frac{4}{5}x² - \frac{7}{5}x - \frac{3}{2} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (5 и 2), то есть на 10:

$10 \cdot (\frac{4}{5}x² - \frac{7}{5}x - \frac{3}{2}) = 10 \cdot 0$

$8x² - 14x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 8$, $b = -14$, $c = -15$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 196 + 480 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) + 26}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 26}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2} = 2,5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) - 26}{2 \cdot 8} = \frac{14 - 26}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75$

Ответ: $x_1 = 2,5$, $x_2 = -0,75$.

г) $0,2x² - 10x + 125 = 0$

Умножим все члены уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби (поскольку $0,2 = \frac{1}{5}$):

$5 \cdot (0,2x² - 10x + 125) = 5 \cdot 0$

$x² - 50x + 625 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности $(x-25)^2$, так как $25^2 = 625$ и $2 \cdot x \cdot 25 = 50x$.

$(x-25)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x-25 = 0$, и, соответственно, $x = 25$.

Уравнение имеет один корень. Проверим через дискриминант: $D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 2500 - 2500 = 0$. Так как $D=0$, корень один.

Ответ: $x = 25$.