Номер 28.9, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.9, страница 162.

Условие.

28.9 a) $3x^2 + 32x + 80 = 0;$

б) $100x^2 - 160x + 63 = 0;$

в) $5x^2 + 26x - 24 = 0;$

г) $4x^2 - 12x + 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $3x^2 + 32x + 80 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся формулой корней через дискриминант. Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=32$, $c=80$.

1. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 1024 - 960 = 64$

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-32 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-32 + 8}{6} = \frac{-24}{6} = -4$

$x_2 = \frac{-32 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-32 - 8}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = -\frac{20}{3}$.

б) $100x^2 - 160x + 63 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=100$, $b=-160$, $c=63$.

1. Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-160)^2 - 4 \cdot 100 \cdot 63 = 25600 - 25200 = 400$

2. Так как $D > 0$, находим два корня:

$x_1 = \frac{-(-160) + \sqrt{400}}{2 \cdot 100} = \frac{160 + 20}{200} = \frac{180}{200} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} = 0,9$

$x_2 = \frac{-(-160) - \sqrt{400}}{2 \cdot 100} = \frac{160 - 20}{200} = \frac{140}{200} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} = 0,7$

Ответ: $x_1 = 0,7; x_2 = 0,9$.

в) $5x^2 + 26x - 24 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=26$, $c=-24$.

1. Вычислим дискриминант $D$:

$D = 26^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 676 + 480 = 1156$

2. Так как $D > 0$, находим два корня. $\sqrt{1156} = 34$.

$x_1 = \frac{-26 + \sqrt{1156}}{2 \cdot 5} = \frac{-26 + 34}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0,8$

$x_2 = \frac{-26 - \sqrt{1156}}{2 \cdot 5} = \frac{-26 - 34}{10} = \frac{-60}{10} = -6$

Ответ: $x_1 = -6, x_2 = 0,8$.

г) $4x^2 - 12x + 9 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=4$, $b=-12$, $c=9$.

1. Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$

2. Уравнение принимает вид:

$(2x - 3)^2 = 0$

Отсюда следует:

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Уравнение имеет один действительный корень кратности 2.

Альтернативный способ — через дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$

Так как $D=0$, уравнение имеет один корень, который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $x = 1,5$.