Номер 28.8, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.8, страница 162.

Условие.

28.8 a) $4x^2 + 10x - 6 = 0;$

б) $25x^2 + 10x + 1 = 0;$

в) $3x^2 - 8x + 5 = 0;$

г) $4x^2 + x + 67 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Решим квадратное уравнение $4x^2 + 10x - 6 = 0$.

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a = 2, b = 5, c = -3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

$x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

Ответ: $-3; 0.5$.

б)

Решим уравнение $25x^2 + 10x + 1 = 0$.

Левая часть этого уравнения является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a=5x$ и $b=1$, так как $(5x)^2 = 25x^2$, $1^2 = 1$, и $2 \cdot 5x \cdot 1 = 10x$.

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(5x + 1)^2 = 0$

Это равенство выполняется только тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$5x + 1 = 0$

$5x = -1$

$x = -\frac{1}{5} = -0.2$

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $-0.2$.

в)

Решим квадратное уравнение $3x^2 - 8x + 5 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 3, b = -8, c = 5$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: $1; \frac{5}{3}$.

г)

Решим квадратное уравнение $4x^2 + x + 67 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 4, b = 1, c = 67$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 67 = 1 - 16 \cdot 67 = 1 - 1072 = -1071$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.