Номер 28.5, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.5, страница 161.

Условие.

28.5 Не выполняя построения графика функции, ответьте на вопрос, как расположен этот график относительно оси x:

a) $y = x^2 - 14x + 13$;

б) $y = 2x^2 - x + 3$;

в) $y = 25x^2 - 20x + 4$;

г) $y = -x^2 - 8x - 17$.

Решение 1.

Решение 6.

Чтобы определить, как расположен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ относительно оси $x$, не выполняя построения, нужно проанализировать два параметра. Во-первых, знак старшего коэффициента $a$, который определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз. Во-вторых, знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, который определяет количество точек пересечения с осью $x$: если $D > 0$, то точек пересечения две; если $D = 0$, то одна точка касания; если $D < 0$, то точек пересечения нет.

а) $y = x^2 - 14x + 13$

Для данной функции коэффициенты: $a = 1$, $b = -14$, $c = 13$.
1. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 196 - 52 = 144$.
3. Поскольку $D = 144 > 0$, парабола пересекает ось $x$ в двух различных точках.
Ответ: График функции пересекает ось $x$ в двух точках.

б) $y = 2x^2 - x + 3$

Для данной функции коэффициенты: $a = 2$, $b = -1$, $c = 3$.
1. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$.
3. Поскольку $D = -23 < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $x$. Ветви направлены вверх, следовательно, весь график расположен выше оси $x$.
Ответ: График функции расположен полностью выше оси $x$.

в) $y = 25x^2 - 20x + 4$

Для данной функции коэффициенты: $a = 25$, $b = -20$, $c = 4$.
1. Так как $a = 25 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 4 = 400 - 400 = 0$.
3. Поскольку $D = 0$, парабола имеет одну общую точку с осью $x$ (касается ее в своей вершине). Так как ветви направлены вверх, график находится в верхней полуплоскости.
Ответ: График функции касается оси $x$ в одной точке и расположен в верхней полуплоскости.

г) $y = -x^2 - 8x - 17$

Для данной функции коэффициенты: $a = -1$, $b = -8$, $c = -17$.
1. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-17) = 64 - 68 = -4$.
3. Поскольку $D = -4 < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $x$. Ветви направлены вниз, следовательно, весь график расположен ниже оси $x$.
Ответ: График функции расположен полностью ниже оси $x$.