Номер 28.15, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.15, страница 162.

Условие.

28.15 a) $2x^2 + 10x + 12 = 0$;

б) $-3x^2 + 18x - 24 = 0$;

в) $6x^2 - 18x - 60 = 0$;

г) $-4x^2 - 16x + 84 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $2x^2 + 10x + 12 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Для удобства решения разделим все члены уравнения на 2, так как все коэффициенты четные.

$\frac{2x^2}{2} + \frac{10x}{2} + \frac{12}{2} = \frac{0}{2}$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Теперь мы имеем приведенное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: -3; -2.

б) $-3x^2 + 18x - 24 = 0$

Для упрощения данного квадратного уравнения разделим все его члены на -3.

$\frac{-3x^2}{-3} + \frac{18x}{-3} - \frac{24}{-3} = \frac{0}{-3}$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -6$, $c = 8$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2; 4.

в) $6x^2 - 18x - 60 = 0$

Упростим уравнение, разделив все его члены на 6.

$\frac{6x^2}{6} - \frac{18x}{6} - \frac{60}{6} = \frac{0}{6}$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -3$, $c = -10$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 5.

г) $-4x^2 - 16x + 84 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на -4.

$\frac{-4x^2}{-4} - \frac{16x}{-4} + \frac{84}{-4} = \frac{0}{-4}$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 4$, $c = -21$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: -7; 3.