Номер 28.27, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.27, страница 163.

Условие.

28.27 Произведение двух последовательных натуральных чисел на 271 больше их суммы. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть первое из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число равно $n + 1$. По условию, $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Их произведение равно $n(n + 1)$, а их сумма равна $n + (n + 1) = 2n + 1$.

Согласно условию, произведение этих чисел на 271 больше их суммы. Это можно выразить следующим уравнением:

$n(n + 1) = (2n + 1) + 271$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$n^2 + n = 2n + 272$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$n^2 + n - 2n - 272 = 0$

$n^2 - n - 272 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 33}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$n_1 = \frac{1 + 33}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$n_2 = \frac{1 - 33}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку в задаче речь идет о натуральных числах, корень $n_2 = -16$ не является решением. Таким образом, первое число равно 17.

Второе последовательное число равно $n + 1 = 17 + 1 = 18$.

Проверим результат: произведение чисел $17 \cdot 18 = 306$; сумма чисел $17 + 18 = 35$. Разность между произведением и суммой $306 - 35 = 271$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 17 и 18.