Страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

30.4 Расстояние 30 км один из двух лыжников прошёл на 20 мин быстрее другого. Скорость первого лыжника была на 3 км/ч больше скорости второго. Какова была скорость каждого лыжника?

Пусть скорость второго (более медленного) лыжника равна $x$ км/ч. По условию, скорость первого лыжника была на 3 км/ч больше, следовательно, она равна $(x+3)$ км/ч.

Расстояние, которое прошел каждый лыжник, составляет $S = 30$ км. Время в пути ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, время первого лыжника $t_1 = \frac{30}{x+3}$ часов, а время второго лыжника $t_2 = \frac{30}{x}$ часов.

Известно, что первый лыжник прошел дистанцию на 20 минут быстрее второго. Переведем разницу во времени в часы, чтобы единицы измерения были одинаковыми: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Так как второй лыжник был медленнее, его время в пути больше. Составим уравнение, отражающее разницу во времени: $t_2 - t_1 = \frac{1}{3}$
$\frac{30}{x} - \frac{30}{x+3} = \frac{1}{3}$

Решим это уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$: $\frac{30(x+3) - 30x}{x(x+3)} = \frac{1}{3}$
Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{30x + 90 - 30x}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$
$\frac{90}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $x^2 + 3x = 90 \cdot 3$
$x^2 + 3x = 270$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 3x - 270 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Вычислим корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + 33}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-3 - 33}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -18$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость второго лыжника равна $x = 15$ км/ч.

Тогда скорость первого лыжника равна: $x + 3 = 15 + 3 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого лыжника 18 км/ч, скорость второго лыжника 15 км/ч.

30.5 Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Поскольку скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, то его скорость будет $(x + 10)$ км/ч.

Расстояние между городами равно 560 км. Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, за которое второй автомобиль проехал расстояние в 560 км, составляет $t_2 = \frac{560}{x}$ часов.

Время, за которое первый автомобиль проехал то же расстояние, составляет $t_1 = \frac{560}{x+10}$ часов.

Из условия известно, что первый автомобиль приехал на 1 час раньше второго. Это означает, что время второго автомобиля на 1 час больше времени первого: $t_2 - t_1 = 1$.

Подставим выражения для времени в это равенство и получим уравнение:

$\frac{560}{x} - \frac{560}{x+10} = 1$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(x+10)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$. Так как $x$ – это скорость, она должна быть положительной, поэтому эти условия выполняются.

$560(x+10) - 560x = x(x+10)$

Раскроем скобки:

$560x + 5600 - 560x = x^2 + 10x$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 5600 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{22500}}{2} = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{22500}}{2} = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Корень $x_2 = -80$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость второго автомобиля равна 70 км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$x + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля – 80 км/ч, скорость второго автомобиля – 70 км/ч.

30.6 Из пункта A в пункт B, удалённый от A на расстояние 100 км, отправился междугородный автобус. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось по расписанию, и поэтому прибыл в пункт B с опозданием на 30 мин. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?

Для решения этой задачи составим уравнение, введя неизвестную величину.

Пусть $x$ км/ч — это скорость, с которой автобус должен был ехать по расписанию. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, то есть его фактическая скорость была $(x - 10)$ км/ч.

Расстояние, которое нужно было проехать, составляет $S = 100$ км.

Время в пути вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, которое автобус должен был потратить на дорогу по расписанию, равно:

$t_{расп} = \frac{100}{x}$ часов.

Фактическое время, которое автобус потратил на дорогу, равно:

$t_{факт} = \frac{100}{x - 10}$ часов.

По условию задачи, автобус прибыл в пункт В с опозданием на 30 минут. Переведем это время в часы, чтобы все единицы были согласованы:

$30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ часа} = 0.5 \text{ часа}$.

Опоздание означает, что фактическое время в пути было больше планового на 0.5 часа. На основе этого составим уравнение:

$t_{факт} - t_{расп} = 0.5$

Подставим в уравнение выражения для времени:

$\frac{100}{x - 10} - \frac{100}{x} = 0.5$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на $2x(x - 10)$, чтобы избавиться от дробей. При этом $x \ne 0$ и $x \ne 10$.

$100 \cdot 2x - 100 \cdot 2(x - 10) = 0.5 \cdot 2x(x - 10)$

$200x - 200(x - 10) = x(x - 10)$

$200x - 200x + 2000 = x^2 - 10x$

$2000 = x^2 - 10x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 10x - 2000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 90}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 90}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

По смыслу задачи скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -40$ не является решением. Следовательно, скорость автобуса по расписанию должна была быть 50 км/ч.

Проверим полученный результат:

Плановая скорость: 50 км/ч. Плановое время: $\frac{100}{50} = 2$ часа.

Фактическая скорость: $50 - 10 = 40$ км/ч. Фактическое время: $\frac{100}{40} = 2.5$ часа.

Разница во времени: $2.5 - 2 = 0.5$ часа, что соответствует 30 минутам опоздания. Решение верное.

Ответ: 50 км/ч.

30.7 Велосипедист ехал с определённой скоростью из деревни на станцию, находящуюся от деревни на расстоянии 32 км. Обратно он ехал со скоростью на $1 \text{ км/ч}$ большей, затратив на обратный путь на 8 мин меньше, чем на путь от деревни до станции. С какой скоростью ехал велосипедист до станции?

Пусть $v$ (км/ч) — искомая скорость велосипедиста на пути из деревни на станцию.
Расстояние от деревни до станции равно 32 км.
Время, которое велосипедист затратил на путь до станции, составляет $t_1 = \frac{32}{v}$ часов.
На обратном пути его скорость была на 1 км/ч больше, то есть $(v+1)$ км/ч.
Время, которое велосипедист затратил на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{32}{v+1}$ часов.
По условию, на обратный путь он затратил на 8 минут меньше. Переведем 8 минут в часы:
8 мин = $\frac{8}{60}$ ч = $\frac{2}{15}$ ч.
Разница во времени между поездкой до станции и обратно составляет $\frac{2}{15}$ часа. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{2}{15}$
$\frac{32}{v} - \frac{32}{v+1} = \frac{2}{15}$
Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 2:
$\frac{16}{v} - \frac{16}{v+1} = \frac{1}{15}$
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+1)$:
$\frac{16(v+1) - 16v}{v(v+1)} = \frac{1}{15}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{16v + 16 - 16v}{v(v+1)} = \frac{1}{15}$
$\frac{16}{v^2 + v} = \frac{1}{15}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$v^2 + v = 16 \cdot 15$
$v^2 + v = 240$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + v - 240 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=1, c=-240$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$
Найдем корни уравнения:
$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 31}{2}$
Первый корень:
$v_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$
Второй корень:
$v_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -16$ не является решением задачи.
Следовательно, скорость велосипедиста на пути из деревни до станции составляла 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

30.8 Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд сократил на 1 ч время, затрачиваемое им на прохождение пути в 720 км. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда время, которое поезд должен был затратить на прохождение пути в 720 км, составляет $t_1 = \frac{720}{v}$ часов.

Согласно условию, поезд увеличил скорость на 10 км/ч, следовательно, его новая скорость стала $(v + 10)$ км/ч. Время, затраченное на тот же путь с новой скоростью, равно $t_2 = \frac{720}{v + 10}$ часов.

Известно, что в результате увеличения скорости время в пути сократилось на 1 час. Это означает, что разница между первоначальным и новым временем составляет 1 час:

$t_1 - t_2 = 1$

Составим уравнение, подставив в него выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{720}{v} - \frac{720}{v + 10} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, при условии, что $v \neq 0$ и $v \neq -10$. Так как $v$ — это скорость, она должна быть положительной, поэтому эти условия выполняются.

$720(v + 10) - 720v = 1 \cdot v(v + 10)$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:

$720v + 7200 - 720v = v^2 + 10v$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$7200 = v^2 + 10v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 10v - 7200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900$

Найдем корни уравнения по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-10 + \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 170}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-10 - \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 170}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда составляла 80 км/ч.

Проверка:

Время при скорости 80 км/ч: $t_1 = \frac{720}{80} = 9$ часов.

Новая скорость: $80 + 10 = 90$ км/ч.

Время при новой скорости: $t_2 = \frac{720}{90} = 8$ часов.

Разница во времени: $t_1 - t_2 = 9 - 8 = 1$ час. Решение верное.

Ответ: 80 км/ч.

30.9 Велосипедист ехал с определённой скоростью 16 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 4 км/ч. На весь путь туда и обратно велосипедист затратил 2 ч 20 мин. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города.

30.9

Пусть $v$ (км/ч) — искомая скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города.

Согласно условию, на обратном пути (от турбазы до города) велосипедист снизил скорость на 4 км/ч. Это означает, что его первоначальная скорость (от города до турбазы) была на 4 км/ч больше. Таким образом, скорость от города до турбазы составляла $(v + 4)$ км/ч.

Расстояние в одну сторону равно 16 км.

Время, затраченное на путь от города до турбазы, равно: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{16}{v + 4}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь от турбазы до города, равно: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{16}{v}$ часов.

Общее время в пути составляет 2 ч 20 мин. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $2 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 2 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{7}{3}$ часов.

Общее время — это сумма времени в пути туда и обратно. Составим и решим уравнение: $t_1 + t_2 = \frac{7}{3}$

$\frac{16}{v + 4} + \frac{16}{v} = \frac{7}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 4)$: $\frac{16v + 16(v + 4)}{v(v + 4)} = \frac{7}{3}$

$\frac{16v + 16v + 64}{v^2 + 4v} = \frac{7}{3}$

$\frac{32v + 64}{v^2 + 4v} = \frac{7}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции: $3(32v + 64) = 7(v^2 + 4v)$

$96v + 192 = 7v^2 + 28v$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $7v^2 + 28v - 96v - 192 = 0$

$7v^2 - 68v - 192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-68)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-192) = 4624 + 5376 = 10000$

$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{68 + 100}{2 \cdot 7} = \frac{168}{14} = 12$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{68 - 100}{2 \cdot 7} = \frac{-32}{14} = -\frac{16}{7}$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -\frac{16}{7}$ не является решением задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на пути от турбазы до города равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

30.10 Автобус проехал с постоянной скоростью 40 км от пункта A до пункта B. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на 20 мин больше, чем на путь от A до B. Найдите первоначальную скорость автобуса.

30.10 Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автобуса. Расстояние от пункта А до пункта В равно 40 км. Время, затраченное на этот путь, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{40}{v}$ часов.

На обратном пути скорость автобуса была на 10 км/ч меньше, то есть составляла $v - 10$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, равно $t_2 = \frac{40}{v - 10}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь автобус затратил на 20 минут больше. Переведем 20 минут в часы для согласованности единиц измерения: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Составим уравнение, исходя из того, что разница во времени $t_2 - t_1$ равна $\frac{1}{3}$ часа: $\frac{40}{v - 10} - \frac{40}{v} = \frac{1}{3}$.

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v - 10)$: $\frac{40v - 40(v - 10)}{v(v - 10)} = \frac{1}{3}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{40v - 40v + 400}{v^2 - 10v} = \frac{1}{3}$, что приводит к $\frac{400}{v^2 - 10v} = \frac{1}{3}$.

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $1 \cdot (v^2 - 10v) = 400 \cdot 3$, $v^2 - 10v = 1200$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 - 10v - 1200 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$.

Теперь найдем корни уравнения: $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 70}{2}$.

Получаем два возможных значения для скорости: $v_1 = \frac{10 + 70}{2} = \frac{80}{2} = 40$. $v_2 = \frac{10 - 70}{2} = \frac{-60}{2} = -30$.

Так как скорость по условию задачи не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -30$ не является решением. Следовательно, первоначальная скорость автобуса равна 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

30.11 На путь, равный 18 км, велосипедист затратил времени на 1 ч 48 мин меньше, чем пешеход, так как проезжал за 1 ч на 9 км больше, чем проходил пешеход. Каковы скорости велосипедиста и пешехода?

Пусть скорость пешехода равна $v_п$ км/ч. Согласно условию, скорость велосипедиста на 9 км/ч больше, следовательно, она равна $(v_п + 9)$ км/ч.

Оба они преодолели путь $S = 18$ км.

Время, затраченное пешеходом, составляет $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{18}{v_п}$ часов.

Время, затраченное велосипедистом, составляет $t_в = \frac{S}{v_в} = \frac{18}{v_п + 9}$ часов.

По условию, велосипедист затратил на путь на 1 час 48 минут меньше, чем пешеход. Выразим эту разницу во времени в часах:

$\Delta t = 1 \text{ ч } 48 \text{ мин } = 1 + \frac{48}{60} \text{ ч } = 1 + \frac{4}{5} \text{ ч } = 1 + 0.8 \text{ ч } = 1.8 \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, связывающее время пешехода и велосипедиста:

$t_п - t_в = \Delta t$

$\frac{18}{v_п} - \frac{18}{v_п + 9} = 1.8$

Для удобства решения разделим обе части уравнения на 1.8:

$\frac{18}{1.8 \cdot v_п} - \frac{18}{1.8 \cdot (v_п + 9)} = \frac{1.8}{1.8}$

$\frac{10}{v_п} - \frac{10}{v_п + 9} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_п(v_п + 9)$:

$\frac{10(v_п + 9) - 10v_п}{v_п(v_п + 9)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{10v_п + 90 - 10v_п}{v_п^2 + 9v_п} = 1$

$\frac{90}{v_п^2 + 9v_п} = 1$

При условии, что $v_п \neq 0$ и $v_п \neq -9$ (что очевидно для скорости), мы можем записать:

$v_п^2 + 9v_п = 90$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_п^2 + 9v_п - 90 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 81 + 360 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни уравнения:

$(v_п)_1 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

$(v_п)_2 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $(v_п)_2 = -15$ не соответствует условию задачи. Следовательно, скорость пешехода составляет 6 км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста:

$v_в = v_п + 9 = 6 + 9 = 15$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода — 6 км/ч, скорость велосипедиста — 15 км/ч.