Страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте теорему Виета.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Формулировка теоремы зависит от степени многочлена.

Это наиболее известный и часто применяемый случай теоремы.

Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если оно имеет корни $x_1$ и $x_2$, то справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней равна второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
• Произведение корней равно свободному члену ($q$): $x_1 \cdot x_2 = q$.

Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$), имеющего корни $x_1$ и $x_2$, формулы Виета выглядят так:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Также важна обратная теорема Виета: если существуют два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются равенства $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Ответ: Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ верны равенства: $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теорема Виета обобщается на многочлены любой степени. Пусть дан многочлен n-й степени с действительными или комплексными коэффициентами:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где $a_n \neq 0$.

Если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни этого многочлена (с учётом их кратности), то они связаны с коэффициентами $a_0, a_1, \dots, a_n$ следующими формулами (формулы Виета):

• Сумма всех корней:
  $\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
• Сумма всех попарных произведений корней:
  $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$
• Сумма всех произведений корней по три:
  $\sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$
• ... и так далее.
• Произведение всех корней:
  $x_1x_2\dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

В общем виде, элементарная симметрическая функция от $k$ корней (сумма всех возможных произведений из $k$ различных корней) выражается через коэффициенты как:

$\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$

Ответ: Для многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ с корнями $x_1, \dots, x_n$ сумма произведений корней, взятых по $k$, равна $(-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$. В частности, сумма всех корней равна $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$, а их произведение равно $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$.

2. Чему равна сумма корней уравнения $x^2 + px + q = 0$ (если они есть)?

Для ответа на этот вопрос следует использовать теорему Виета.

Уравнение $x^2 + px + q = 0$ является приведенным квадратным уравнением, так как коэффициент при $x^2$ равен 1.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения устанавливает следующие соотношения между его корнями ($x_1$ и $x_2$) и коэффициентами:
1. Сумма корней равна второму коэффициенту (в данном случае $p$), взятому с противоположным знаком.
$x_1 + x_2 = -p$
2. Произведение корней равно свободному члену (в данном случае $q$).
$x_1 \cdot x_2 = q$

В задаче требуется найти сумму корней, которая, согласно теореме Виета, равна $-p$.

Условие в скобках "(если они есть)" подразумевает, что уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = p^2 - 4q$
Следовательно, действительные корни существуют при условии $p^2 - 4q \ge 0$. Если это условие выполняется, сумма корней будет равна $-p$. Следует отметить, что теорема Виета также справедлива и для комплексных корней, которые у квадратного уравнения существуют всегда.

Ответ: Сумма корней уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна $-p$.

3. Чему равно произведение корней уравнения $x^2 + px + q = 0$ (если они есть)?

Для нахождения произведения корней данного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ используется теорема Виета.

Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения (когда коэффициент при $x^2$ равен 1) гласит, что если $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$, то выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$

Вопрос содержит уточнение "(если они есть)?". Корни у квадратного уравнения существуют (в поле действительных чисел), если его дискриминант $D$ неотрицателен. Для данного уравнения дискриминант равен $D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = p^2 - 4q$. Таким образом, действительные корни существуют при условии $p^2 - 4q \ge 0$.

Независимо от того, являются ли корни действительными или комплексными, теорема Виета остаётся справедливой. Следовательно, произведение корней уравнения $x^2 + px + q = 0$ всегда равно его свободному члену $q$.

Ответ: $q$

4. Запишите формулу разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители. Примените эту формулу для разложения на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + 2$.

Формула разложения квадратного трёхчлена на линейные множители

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители необходимо найти его корни, решив соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения (что возможно при неотрицательном дискриминанте $D = b^2 - 4ac \ge 0$), то формула разложения имеет следующий вид: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Ответ: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + 2$

Рассмотрим трёхчлен $2x^2 - 5x + 2$. В нём коэффициенты равны: $a=2$, $b=-5$, $c=2$. Чтобы разложить его на множители, сначала найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле корней квадратного уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим коэффициент $a=2$ и найденные корни $x_1=2$ и $x_2=\frac{1}{2}$ в формулу разложения: $2x^2 - 5x + 2 = a(x - x_1)(x - x_2) = 2(x - 2)(x - \frac{1}{2})$.

Для получения более удобного вида с целыми коэффициентами в множителях внесём множитель $2$ во вторую скобку: $2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) = (x - 2)(2 \cdot x - 2 \cdot \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x - 1)$.

Ответ: $2x^2 - 5x + 2 = (x - 2)(2x - 1)$.

5. В каком случае квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ нельзя разложить на линейные множители?

Возможность разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители напрямую связана с наличием у него действительных корней. Корни квадратного трёхчлена — это значения переменной $x$, при которых трёхчлен обращается в ноль. Эти корни находят из соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Существование действительных корней у этого уравнения определяется знаком его дискриминанта ($D$), который вычисляется по формуле:$D = b^2 - 4ac$

Рассмотрим возможные случаи:

• Если дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. В этом случае трёхчлен раскладывается на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих) $x_1$. В этом случае разложение выглядит так: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$.

В обоих этих случаях, когда $D \ge 0$, квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители.

Однако, если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными числами. Это означает, что в поле действительных чисел разложить данный квадратный трёхчлен на линейные множители невозможно.

Ответ: Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ нельзя разложить на линейные множители в том случае, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является отрицательным числом, то есть $D < 0$.

6. Объясните, как, не применяя формулу корней квадратного уравнения, найти устно корни уравнения:

a) $x^2 - 8x + 15 = 0$;

б) $x^2 - x - 12 = 0$.

Для устного нахождения корней данных квадратных уравнений, не используя формулу корней через дискриминант, удобно применить теорему, обратную теореме Виета. Этот метод особенно эффективен для приведенных квадратных уравнений (у которых коэффициент при $x^2$ равен 1) с целочисленными корнями.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ и его корней $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Суть метода заключается в том, чтобы мысленно подобрать два числа, которые удовлетворяют этим двум условиям одновременно.

а) $x^2 - 8x + 15 = 0$

В данном уравнении второй коэффициент $p = -8$, а свободный член $q = 15$. Согласно теореме Виета, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых их сумма $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$.

Начнем подбор с анализа произведения. Так как произведение ($15$) и сумма ($8$) положительны, оба корня должны быть положительными. Рассматриваем пары целых положительных чисел, которые при умножении дают 15: это 1 и 15, а также 3 и 5. Теперь проверяем их сумму: $1 + 15 = 16$ (не подходит), $3 + 5 = 8$ (подходит). Таким образом, мы нашли корни.

Ответ: 3 и 5.

б) $x^2 - x - 12 = 0$

В этом уравнении коэффициент $p = -1$ и свободный член $q = -12$. Ищем два числа $x_1$ и $x_2$, такие что их сумма $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$.

Поскольку произведение корней отрицательно ($-12 < 0$), корни должны иметь разные знаки. Так как их сумма положительна ($1 > 0$), это означает, что положительный корень по модулю больше отрицательного. Начнем подбирать пары множителей числа -12, удовлетворяющих этому условию, и проверять их сумму. Например, пара (4, -3). Их произведение $4 \cdot (-3) = -12$, а их сумма $4 + (-3) = 1$. Оба условия выполняются, следовательно, мы нашли корни.

Ответ: -3 и 4.

7. Какой вид принимает формула разложения квадратного трёхчлена на множители, если дискриминант квадратного трёхчлена на $ax^2 + bx + c$ равен нулю?

Общая формула разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители, где $a \ne 0$, выглядит следующим образом:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Здесь $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти корни находятся с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

В условии задачи сказано, что дискриминант равен нулю, то есть $D = 0$. Подставим это значение в формулу для нахождения корней:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}$

Это означает, что при $D=0$ квадратное уравнение имеет один корень (или, как говорят, два одинаковых, или совпадающих, корня):

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

Теперь подставим эти значения корней в общую формулу разложения на множители:

$ax^2 + bx + c = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

Упростим полученное выражение:

$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a}\right) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$

Таким образом, если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то этот трёхчлен представляет собой полный квадрат, умноженный на старший коэффициент $a$.

Ответ: Если дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ равен нулю, то формула его разложения на множители принимает вид $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$.

31.15 Расстояние 400 км скорый поезд прошёл на 1 ч быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда, если скорость движения товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого?

Пусть $x$ км/ч — скорость скорого поезда. Тогда, согласно условию, скорость товарного поезда равна $(x - 20)$ км/ч. Расстояние, которое проехали оба поезда, составляет 400 км.

Время, затраченное скорым поездом на путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{400}{x}$ часов.

Время, затраченное товарным поездом на тот же путь, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{400}{x - 20}$ часов.

По условию задачи, скорый поезд прошёл расстояние на 1 час быстрее товарного, что можно записать в виде уравнения:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{400}{x - 20} - \frac{400}{x} = 1$

Для решения данного уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 20$. Поскольку $x$ — это скорость, $x > 0$. Так как скорость товарного поезда $(x-20)$ также должна быть положительной, то $x > 20$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x - 20)$:

$\frac{400x - 400(x - 20)}{x(x - 20)} = 1$

$\frac{400x - 400x + 8000}{x^2 - 20x} = 1$

$\frac{8000}{x^2 - 20x} = 1$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 20x$:

$8000 = x^2 - 20x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x - 8000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{32400}}{2} = \frac{20 \pm 180}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{20 + 180}{2} = \frac{200}{2} = 100$

Второй корень:

$x_2 = \frac{20 - 180}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Таким образом, скорость скорого поезда составляет 100 км/ч.

Теперь найдем скорость товарного поезда:

$x - 20 = 100 - 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость скорого поезда — 100 км/ч, скорость товарного поезда — 80 км/ч.

31.16 На середине пути между станциями $A$ и $B$ поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прибыть в $B$ по расписанию, машинисту пришлось увеличить первоначальную скорость поезда на $12\text{ км/ч}$. Найдите первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями равно $120\text{ км}$.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость поезда.

Всего расстояние между станциями А и В равно $S = 120$ км. Поезд был задержан на середине пути, то есть проехав расстояние $S_1 = \frac{120}{2} = 60$ км. Оставшаяся часть пути, которую поезду нужно было проехать, также составляет $S_2 = 60$ км.

Задержка составила 10 минут. Переведем это время в часы, так как скорость измеряется в км/ч:$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}.$

Чтобы прибыть в пункт В вовремя, машинисту пришлось наверстать это время на второй половине пути.

Время, которое поезд должен был затратить на вторую половину пути по расписанию (с первоначальной скоростью), составляет:$t_{план} = \frac{S_2}{v} = \frac{60}{v}$ ч.

После задержки машинист увеличил скорость на 12 км/ч, так что новая скорость стала $v_{новая} = v + 12$ км/ч. Фактическое время, затраченное на вторую половину пути, равно:$t_{факт} = \frac{S_2}{v_{новая}} = \frac{60}{v + 12}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем движения на втором участке как раз равна времени задержки:$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{6}$ ч.

Составим и решим уравнение:$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 12} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{60(v + 12) - 60v}{v(v + 12)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{60v + 720 - 60v}{v^2 + 12v} = \frac{1}{6}$

$\frac{720}{v^2 + 12v} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$v^2 + 12v = 720 \times 6$$v^2 + 12v = 4320$

Получаем квадратное уравнение:$v^2 + 12v - 4320 = 0$

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4320) = 144 + 17280 = 17424$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{17424} = 132$.

Теперь найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-12 - 132}{2 \cdot 1} = \frac{-144}{2} = -72$$v_2 = \frac{-12 + 132}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_1 = -72$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 60 км/ч.

Ответ: первоначальная скорость поезда равна 60 км/ч.

31.17 Катер прошёл 8 км по течению реки и 16 км против течения, затратив на весь путь $\frac{4}{3}$ ч. Какова скорость движения катера по течению, если собственная скорость катера равна 20 км/ч?

Пусть $v_c$ — собственная скорость катера, а $v_p$ — скорость течения реки. Из условия задачи известно, что $v_c = 20$ км/ч.

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_c + v_p = 20 + v_p$ км/ч.

Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_c - v_p = 20 - v_p$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{8}{20 + v_p}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения: $t_{против} = \frac{16}{20 - v_p}$ ч.

Общее время в пути составляет $\frac{4}{3}$ ч. Можем составить уравнение, приравняв сумму времени движения по течению и против течения к общему времени: $ \frac{8}{20 + v_p} + \frac{16}{20 - v_p} = \frac{4}{3} $

Для упрощения разделим обе части уравнения на 4: $ \frac{2}{20 + v_p} + \frac{4}{20 - v_p} = \frac{1}{3} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(20 + v_p)(20 - v_p) = 400 - v_p^2$: $ \frac{2(20 - v_p) + 4(20 + v_p)}{400 - v_p^2} = \frac{1}{3} $

Упростим числитель в левой части: $2(20 - v_p) + 4(20 + v_p) = 40 - 2v_p + 80 + 4v_p = 120 + 2v_p$. Уравнение принимает вид: $ \frac{120 + 2v_p}{400 - v_p^2} = \frac{1}{3} $

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим: $ 3(120 + 2v_p) = 1(400 - v_p^2) $ $ 360 + 6v_p = 400 - v_p^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ v_p^2 + 6v_p + 360 - 400 = 0 $ $ v_p^2 + 6v_p - 40 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 $. Найдем корни уравнения: $ v_{p1} = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 14}{2} = 4 $
$ v_{p2} = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 14}{2} = -10 $

Скорость течения реки ($v_p$) не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_p = -10$ не соответствует физическому смыслу задачи. Следовательно, скорость течения реки равна $v_p = 4$ км/ч.

Теперь мы можем найти скорость движения катера по течению, как требуется в условии задачи: $ v_{по} = v_c + v_p = 20 + 4 = 24 $ км/ч.

Ответ: 24 км/ч.

31.18 Моторная лодка прошла 7 км по течению реки и 10 км против течения, затратив на путь по течению на 0,5 ч меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость хода лодки против течения.

Пусть $v_с$ – собственная скорость лодки, а $v_т$ – скорость течения реки. По условию, собственная скорость лодки $v_с = 12$ км/ч.

Скорость лодки при движении по течению составляет $v_{по} = v_с + v_т = 12 + v_т$ км/ч.

Скорость лодки при движении против течения составляет $v_{пр} = v_с - v_т = 12 - v_т$ км/ч.

Время, затраченное на путь 7 км по течению, равно $t_{по} = \frac{s_{по}}{v_{по}} = \frac{7}{12 + v_т}$ ч.

Время, затраченное на путь 10 км против течения, равно $t_{пр} = \frac{s_{пр}}{v_{пр}} = \frac{10}{12 - v_т}$ ч.

Согласно условию, время на путь по течению на 0,5 часа меньше, чем время на путь против течения. Это можно записать в виде уравнения: $t_{пр} - t_{по} = 0,5$

Подставим выражения для времени в это уравнение: $\frac{10}{12 - v_т} - \frac{7}{12 + v_т} = 0,5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(12 - v_т)(12 + v_т) = 144 - v_т^2$: $\frac{10(12 + v_т) - 7(12 - v_т)}{144 - v_т^2} = 0,5$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{120 + 10v_т - 84 + 7v_т}{144 - v_т^2} = 0,5$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{36 + 17v_т}{144 - v_т^2} = 0,5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции, умножив обе части на знаменатель (при условии, что $v_т \neq 12$, что логично, иначе лодка не смогла бы двигаться против течения): $36 + 17v_т = 0,5 \cdot (144 - v_т^2)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $2 \cdot (36 + 17v_т) = 144 - v_т^2$ $72 + 34v_т = 144 - v_т^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v_т^2 + 34v_т + 72 - 144 = 0$ $v_т^2 + 34v_т - 72 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444$ $\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$

Найдем корни уравнения для $v_т$: $v_{т1} = \frac{-34 + 38}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $v_{т2} = \frac{-34 - 38}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как скорость течения не может быть отрицательной величиной, мы выбираем корень $v_т = 2$ км/ч.

В задаче требуется найти скорость хода лодки против течения: $v_{пр} = v_с - v_т = 12 - 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Решите уравнение:

31.19 а) $x^2 - 52x - 285 = 0$;

б) $3x^2 + 130x - 133 = 0$;

в) $x^2 + 108x - 2413 = 0$;

г) $17x^2 - 128x - 64 = 0$.

а)

Решим квадратное уравнение $x^2 - 52x - 285 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-52$, $c=-285$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-52)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-285) = 2704 + 1140 = 3844$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-52) + 62}{2 \cdot 1} = \frac{52 + 62}{2} = \frac{114}{2} = 57$.
$x_2 = \frac{-(-52) - 62}{2 \cdot 1} = \frac{52 - 62}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: $-5; 57$.

б)

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 130x - 133 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=3$, $b=130$, $c=-133$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 130^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-133) = 16900 + 1596 = 18496$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18496} = 136$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-130 + 136}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{-130 - 136}{2 \cdot 3} = \frac{-266}{6} = -\frac{133}{3}$.
Ответ: $-\frac{133}{3}; 1$.

в)

Решим квадратное уравнение $x^2 + 108x - 2413 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=108$, $c=-2413$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 108^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2413) = 11664 + 9652 = 21316$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{21316} = 146$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-108 + 146}{2 \cdot 1} = \frac{38}{2} = 19$.
$x_2 = \frac{-108 - 146}{2 \cdot 1} = \frac{-254}{2} = -127$.
Ответ: $-127; 19$.

г)

Решим квадратное уравнение $17x^2 - 128x - 64 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=17$, $b=-128$, $c=-64$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-128)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-64) = 16384 + 4352 = 20736$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{20736} = 144$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-128) + 144}{2 \cdot 17} = \frac{128 + 144}{34} = \frac{272}{34} = 8$.
$x_2 = \frac{-(-128) - 144}{2 \cdot 17} = \frac{128 - 144}{34} = \frac{-16}{34} = -\frac{8}{17}$.
Ответ: $-\frac{8}{17}; 8$.

31.20 a) $x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0;$

б) $x^2 + 2\sqrt{5}x - 20 = 0;$

в) $x^2 + 6\sqrt{2}x + 18 = 0;$

г) $x^2 - 4\sqrt{2}x + 4 = 0.$

а) Для решения квадратного уравнения $x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4\sqrt{3}$, $c=12$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 \cdot 3 - 48 = 48 - 48 = 0$.
Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), уравнение имеет один действительный корень.
Найдем корень по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

б) Решим квадратное уравнение $x^2 + 2\sqrt{5}x - 20 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2\sqrt{5}$, $c=-20$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (2\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 4 \cdot 5 + 80 = 20 + 80 = 100$.
Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-2\sqrt{5} \pm 10}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{5} \pm 10}{2} = -\sqrt{5} \pm 5$.
Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{5} + 5$ и $x_2 = -\sqrt{5} - 5$.
Ответ: $5 - \sqrt{5}; -5 - \sqrt{5}$.

в) Для решения квадратного уравнения $x^2 + 6\sqrt{2}x + 18 = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=6\sqrt{2}$, $c=18$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (6\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 36 \cdot 2 - 72 = 72 - 72 = 0$.
Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), уравнение имеет один действительный корень.
Найдем корень по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = -3\sqrt{2}$.
Ответ: $-3\sqrt{2}$.

г) Решим квадратное уравнение $x^2 - 4\sqrt{2}x + 4 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4\sqrt{2}$, $c=4$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 \cdot 2 - 16 = 32 - 16 = 16$.
Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-4\sqrt{2}) \pm 4}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{2} \pm 4}{2} = 2\sqrt{2} \pm 2$.
Корни уравнения: $x_1 = 2\sqrt{2} + 2$ и $x_2 = 2\sqrt{2} - 2$.
Ответ: $2\sqrt{2} + 2; 2\sqrt{2} - 2$.

31.21 a) $x^2 - 2(p - 1)x + p^2 - 2p - 3 = 0;$

б) $x^2 + 2(p + 1)x + p^2 + 2p - 8 = 0;$

в) $x^2 - 2(p - 1)x + p^2 - 2p - 15 = 0;$

г) $x^2 + 2(p + 3)x + p^2 + 6p - 7 = 0.$

а) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2(p - 1)x + p^2 - 2p - 3 = 0$ относительно переменной $x$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-2(p-1)$, $c=p^2-2p-3$.

Так как коэффициент $b$ является четным числом, воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через половину второго коэффициента $k = \frac{b}{2} = -(p-1)$.

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a} = -(-(p-1)) \pm \sqrt{(-(p-1))^2 - 1 \cdot (p^2 - 2p - 3)}$

Вычислим выражение под корнем (дискриминант, деленный на 4):

$\frac{D}{4} = k^2 - c = (p-1)^2 - (p^2 - 2p - 3) = (p^2 - 2p + 1) - p^2 + 2p + 3 = 4$

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = (p-1) \pm \sqrt{4} = p-1 \pm 2$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = p - 1 - 2 = p - 3$

$x_2 = p - 1 + 2 = p + 1$

Ответ: $x_1 = p - 3, x_2 = p + 1$.

б) Решим квадратное уравнение $x^2 + 2(p + 1)x + p^2 + 2p - 8 = 0$ относительно переменной $x$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2(p+1)$, $c=p^2+2p-8$.

Используем формулу для четного второго коэффициента, где $k = \frac{b}{2} = p+1$.

$x_{1,2} = -k \pm \sqrt{k^2 - c} = -(p+1) \pm \sqrt{(p+1)^2 - (p^2 + 2p - 8)}$

Вычислим выражение под корнем:

$\frac{D}{4} = (p+1)^2 - (p^2 + 2p - 8) = (p^2 + 2p + 1) - p^2 - 2p + 8 = 9$

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = -(p+1) \pm \sqrt{9} = -(p+1) \pm 3$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = -(p+1) - 3 = -p - 1 - 3 = -p - 4$

$x_2 = -(p+1) + 3 = -p - 1 + 3 = -p + 2$

Ответ: $x_1 = -p - 4, x_2 = -p + 2$.

в) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2(p - 1)x + p^2 - 2p - 15 = 0$ относительно переменной $x$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2(p-1)$, $c=p^2-2p-15$.

Используем формулу для четного второго коэффициента, где $k = \frac{b}{2} = -(p-1)$.

$x_{1,2} = -k \pm \sqrt{k^2 - c} = -(-(p-1)) \pm \sqrt{(-(p-1))^2 - (p^2 - 2p - 15)}$

Вычислим выражение под корнем:

$\frac{D}{4} = (p-1)^2 - (p^2 - 2p - 15) = (p^2 - 2p + 1) - p^2 + 2p + 15 = 16$

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = (p-1) \pm \sqrt{16} = p-1 \pm 4$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = p - 1 - 4 = p - 5$

$x_2 = p - 1 + 4 = p + 3$

Ответ: $x_1 = p - 5, x_2 = p + 3$.

г) Решим квадратное уравнение $x^2 + 2(p + 3)x + p^2 + 6p - 7 = 0$ относительно переменной $x$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2(p+3)$, $c=p^2+6p-7$.

Используем формулу для четного второго коэффициента, где $k = \frac{b}{2} = p+3$.

$x_{1,2} = -k \pm \sqrt{k^2 - c} = -(p+3) \pm \sqrt{(p+3)^2 - (p^2 + 6p - 7)}$

Вычислим выражение под корнем:

$\frac{D}{4} = (p+3)^2 - (p^2 + 6p - 7) = (p^2 + 6p + 9) - p^2 - 6p + 7 = 16$

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = -(p+3) \pm \sqrt{16} = -(p+3) \pm 4$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = -(p+3) - 4 = -p - 3 - 4 = -p - 7$

$x_2 = -(p+3) + 4 = -p - 3 + 4 = -p + 1$

Ответ: $x_1 = -p - 7, x_2 = -p + 1$.

31.22 a) $x^2 - 2px + p^2 - 1 = 0;$

б) $px^2 - 4x + 1 = 0;$

в) $x^2 - 4px + 4p^2 - 1 = 0;$

г) $px^2 - 12x + 4 = 0.$

а) Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат разности: $x^2 - 2px + p^2 = (x-p)^2$.
Перепишем уравнение в виде:
$(x-p)^2 - 1 = 0$
$(x-p)^2 = 1$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x-p = 1$ или $x-p = -1$.
Отсюда находим два корня:
$x_1 = p + 1$
$x_2 = p - 1$

Ответ: $x = p \pm 1$.

б) Это уравнение является квадратным относительно $x$ при $p \neq 0$. Рассмотрим два случая.
1. Если $p = 0$, уравнение становится линейным:
$-4x + 1 = 0$
$4x = 1$
$x = \frac{1}{4}$

2. Если $p \neq 0$, решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot p \cdot 1 = 16 - 4p$.
a) Если $D > 0$, т.е. $16 - 4p > 0 \implies 4p < 16 \implies p < 4$ (и $p \neq 0$), уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4p}}{2p} = \frac{4 \pm 2\sqrt{4 - p}}{2p} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - p}}{p}$.

б) Если $D = 0$, т.е. $16 - 4p = 0 \implies p = 4$, уравнение имеет один действительный корень (кратности 2):
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

в) Если $D < 0$, т.е. $16 - 4p < 0 \implies p > 4$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $p = 0$, то $x = \frac{1}{4}$; если $p=4$, то $x = \frac{1}{2}$; если $p < 4$ и $p \neq 0$, то $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - p}}{p}$; если $p > 4$, то действительных корней нет.

в) Это квадратное уравнение относительно $x$. Аналогично пункту а), заметим, что первые три слагаемых являются полным квадратом разности: $x^2 - 4px + 4p^2 = (x - 2p)^2$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(x - 2p)^2 - 1 = 0$
$(x - 2p)^2 = 1$
Извлекая квадратный корень, получаем два случая:
$x - 2p = 1$ или $x - 2p = -1$.
Отсюда находим корни:
$x_1 = 2p + 1$
$x_2 = 2p - 1$

Ответ: $x = 2p \pm 1$.

г) Данное уравнение содержит параметр $p$ в старшем коэффициенте. Рассмотрим два случая.
1. Если $p = 0$, уравнение становится линейным:
$-12x + 4 = 0$
$12x = 4$
$x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

2. Если $p \neq 0$, уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot p \cdot 4 = 144 - 16p$.
a) Если $D > 0$, т.е. $144 - 16p > 0 \implies 16p < 144 \implies p < 9$ (и $p \neq 0$), уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 16p}}{2p} = \frac{12 \pm 4\sqrt{9 - p}}{2p} = \frac{6 \pm 2\sqrt{9 - p}}{p}$.

б) Если $D = 0$, т.е. $144 - 16p = 0 \implies p = 9$, уравнение имеет один действительный корень (кратности 2):
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

в) Если $D < 0$, т.е. $144 - 16p < 0 \implies p > 9$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $p = 0$, то $x = \frac{1}{3}$; если $p=9$, то $x = \frac{2}{3}$; если $p < 9$ и $p \neq 0$, то $x = \frac{6 \pm 2\sqrt{9 - p}}{p}$; если $p > 9$, то действительных корней нет.

31.23 a) $(p - 4)x^2 + (2p - 4)x + p = 0;$

б) $px^2 + 2(p + 1)x + p + 3 = 0.$

а)

Дано уравнение с параметром $p$: $(p - 4)x^2 + (2p - 4)x + p = 0$. Решение этого уравнения зависит от значения параметра $p$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ обращается в ноль. Это происходит при $p - 4 = 0$, то есть $p = 4$. В этом случае уравнение становится линейным. Подставим $p = 4$ в исходное уравнение: $(4 - 4)x^2 + (2 \cdot 4 - 4)x + 4 = 0$ $0 \cdot x^2 + (8 - 4)x + 4 = 0$ $4x + 4 = 0$ $4x = -4$ $x = -1$. Таким образом, при $p = 4$ уравнение имеет один корень.

2. Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $p \neq 4$. Уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты равны: $a = p - 4$, $b = 2p - 4$, $c = p$. $D = (2p - 4)^2 - 4(p - 4)p$ $D = (4p^2 - 16p + 16) - (4p^2 - 16p)$ $D = 4p^2 - 16p + 16 - 4p^2 + 16p = 16$. Поскольку дискриминант $D = 16 > 0$ при любом значении $p$, то при $p \neq 4$ уравнение всегда будет иметь два различных действительных корня. Найдем эти корни по общей формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_{1,2} = \frac{-(2p - 4) \pm \sqrt{16}}{2(p - 4)} = \frac{4 - 2p \pm 4}{2(p - 4)}$. Вычислим каждый корень отдельно: $x_1 = \frac{4 - 2p + 4}{2(p - 4)} = \frac{8 - 2p}{2(p - 4)} = \frac{-2(p - 4)}{2(p - 4)} = -1$. $x_2 = \frac{4 - 2p - 4}{2(p - 4)} = \frac{-2p}{2(p - 4)} = -\frac{p}{p - 4}$.

Ответ: при $p = 4$ уравнение имеет один корень $x = -1$; при $p \neq 4$ уравнение имеет два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{p}{p-4}$.

б)

Дано уравнение с параметром $p$: $px^2 + 2(p + 1)x + p + 3 = 0$. Решение этого уравнения зависит от значения параметра $p$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ обращается в ноль. Это происходит при $p = 0$. В этом случае уравнение становится линейным. Подставим $p = 0$ в исходное уравнение: $0 \cdot x^2 + 2(0 + 1)x + 0 + 3 = 0$ $2x + 3 = 0$ $2x = -3$ $x = -1.5$. Таким образом, при $p = 0$ уравнение имеет один корень.

2. Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $p \neq 0$. Уравнение является квадратным. Коэффициенты: $a = p$, $b = 2(p + 1)$, $c = p + 3$. Поскольку коэффициент $b$ четный, удобно вычислить дискриминант, деленный на 4: $D/4 = (\frac{b}{2})^2 - ac$, где $\frac{b}{2} = p + 1$. $D/4 = (p + 1)^2 - p(p + 3)$ $D/4 = (p^2 + 2p + 1) - (p^2 + 3p)$ $D/4 = p^2 + 2p + 1 - p^2 - 3p = 1 - p$. Количество действительных корней зависит от знака $D/4$.

а) Уравнение имеет два различных действительных корня, если $D/4 > 0$, то есть $1 - p > 0 \implies p < 1$. С учетом условия $p \neq 0$, это выполняется для всех $p \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$: $x_{1,2} = \frac{-(p + 1) \pm \sqrt{1 - p}}{p} = \frac{-p - 1 \pm \sqrt{1 - p}}{p}$.

б) Уравнение имеет один действительный корень (кратности 2), если $D/4 = 0$, то есть $1 - p = 0 \implies p = 1$. Этот корень равен $x = \frac{-b/2}{a}$: $x = \frac{-(p + 1)}{p} = \frac{-(1 + 1)}{1} = -2$.

в) Уравнение не имеет действительных корней, если $D/4 < 0$, то есть $1 - p < 0 \implies p > 1$.

Ответ: при $p > 1$ действительных корней нет; при $p = 1$ один корень $x = -2$; при $p=0$ один корень $x = -1.5$; при $p < 1$ и $p \neq 0$ два корня $x_{1,2} = \frac{-p-1 \pm \sqrt{1-p}}{p}$.

31.24 Расстояние между городами А и В равно 120 км. Через 2 ч после отправления из А мотоциклист был задержан у шлагбаума на 6 мин. Чтобы прибыть в В к намеченному сроку, он увеличил скорость на 12 км/ч. С какой скоростью стал двигаться мотоциклист?

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста. Тогда $v + 12$ (км/ч) — его новая скорость после задержки. Общее расстояние между городами А и В составляет 120 км.

Мотоциклист был задержан через 2 часа после отправления. За это время он проехал расстояние $S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

Оставшееся расстояние до города В составляет $S_2 = 120 - 2v$ км.

Задержка составила 6 минут. Переведем это время в часы, так как скорость измеряется в км/ч:

$t_{задержки} = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0.1 \text{ ч}$

Чтобы прибыть в В в намеченный срок, мотоциклист должен был наверстать потерянное время на оставшемся участке пути. Это означает, что время, которое он сэкономил за счет увеличения скорости, должно быть равно времени задержки.

Время, которое мотоциклист потратил бы на оставшийся путь $S_2$ с первоначальной скоростью $v$, равно $t_{старое} = \frac{120 - 2v}{v}$ ч.

Время, которое он фактически потратил на этот же путь с новой скоростью $v + 12$, равно $t_{новое} = \frac{120 - 2v}{v + 12}$ ч.

Разница между этими временами и есть сэкономленное время, которое равно времени задержки. Составим уравнение:

$t_{старое} - t_{новое} = t_{задержки}$

$\frac{120 - 2v}{v} - \frac{120 - 2v}{v + 12} = 0.1$

Решим это уравнение относительно $v$. Вынесем общий множитель $(120 - 2v)$ за скобки:

$(120 - 2v) \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v + 12} \right) = 0.1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$(120 - 2v) \left( \frac{(v + 12) - v}{v(v + 12)} \right) = 0.1$

$(120 - 2v) \left( \frac{12}{v^2 + 12v} \right) = 0.1$

$\frac{12(120 - 2v)}{v^2 + 12v} = 0.1$

Умножим обе части на знаменатель $v^2 + 12v$ (подразумевая, что $v > 0$):

$12(120 - 2v) = 0.1(v^2 + 12v)$

$1440 - 24v = 0.1v^2 + 1.2v$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$14400 - 240v = v^2 + 12v$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$v^2 + 12v + 240v - 14400 = 0$

$v^2 + 252v - 14400 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 252^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14400) = 63504 + 57600 = 121104$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{121104} = 348$.

Теперь найдем значения $v$:

$v_1 = \frac{-252 + 348}{2 \cdot 1} = \frac{96}{2} = 48$

$v_2 = \frac{-252 - 348}{2 \cdot 1} = \frac{-600}{2} = -300$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость мотоциклиста $v = 48$ км/ч.

Вопрос задачи — найти скорость, с которой мотоциклист стал двигаться, то есть его новую скорость. Она на 12 км/ч больше первоначальной:

$v_{новая} = v + 12 = 48 + 12 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.