Номер 31.15, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.15, страница 178.

Условие.

31.15 Расстояние 400 км скорый поезд прошёл на 1 ч быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда, если скорость движения товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ км/ч — скорость скорого поезда. Тогда, согласно условию, скорость товарного поезда равна $(x - 20)$ км/ч. Расстояние, которое проехали оба поезда, составляет 400 км.

Время, затраченное скорым поездом на путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{400}{x}$ часов.

Время, затраченное товарным поездом на тот же путь, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{400}{x - 20}$ часов.

По условию задачи, скорый поезд прошёл расстояние на 1 час быстрее товарного, что можно записать в виде уравнения:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{400}{x - 20} - \frac{400}{x} = 1$

Для решения данного уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 20$. Поскольку $x$ — это скорость, $x > 0$. Так как скорость товарного поезда $(x-20)$ также должна быть положительной, то $x > 20$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x - 20)$:

$\frac{400x - 400(x - 20)}{x(x - 20)} = 1$

$\frac{400x - 400x + 8000}{x^2 - 20x} = 1$

$\frac{8000}{x^2 - 20x} = 1$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 20x$:

$8000 = x^2 - 20x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x - 8000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{32400}}{2} = \frac{20 \pm 180}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{20 + 180}{2} = \frac{200}{2} = 100$

Второй корень:

$x_2 = \frac{20 - 180}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Таким образом, скорость скорого поезда составляет 100 км/ч.

Теперь найдем скорость товарного поезда:

$x - 20 = 100 - 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость скорого поезда — 100 км/ч, скорость товарного поезда — 80 км/ч.