Номер 31.17, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.17, страница 178.

Условие.

31.17 Катер прошёл 8 км по течению реки и 16 км против течения, затратив на весь путь $\frac{4}{3}$ ч. Какова скорость движения катера по течению, если собственная скорость катера равна 20 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v_c$ — собственная скорость катера, а $v_p$ — скорость течения реки. Из условия задачи известно, что $v_c = 20$ км/ч.

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_c + v_p = 20 + v_p$ км/ч.

Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_c - v_p = 20 - v_p$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{8}{20 + v_p}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения: $t_{против} = \frac{16}{20 - v_p}$ ч.

Общее время в пути составляет $\frac{4}{3}$ ч. Можем составить уравнение, приравняв сумму времени движения по течению и против течения к общему времени: $ \frac{8}{20 + v_p} + \frac{16}{20 - v_p} = \frac{4}{3} $

Для упрощения разделим обе части уравнения на 4: $ \frac{2}{20 + v_p} + \frac{4}{20 - v_p} = \frac{1}{3} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(20 + v_p)(20 - v_p) = 400 - v_p^2$: $ \frac{2(20 - v_p) + 4(20 + v_p)}{400 - v_p^2} = \frac{1}{3} $

Упростим числитель в левой части: $2(20 - v_p) + 4(20 + v_p) = 40 - 2v_p + 80 + 4v_p = 120 + 2v_p$. Уравнение принимает вид: $ \frac{120 + 2v_p}{400 - v_p^2} = \frac{1}{3} $

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим: $ 3(120 + 2v_p) = 1(400 - v_p^2) $ $ 360 + 6v_p = 400 - v_p^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ v_p^2 + 6v_p + 360 - 400 = 0 $ $ v_p^2 + 6v_p - 40 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196 $. Найдем корни уравнения: $ v_{p1} = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 14}{2} = 4 $
$ v_{p2} = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 14}{2} = -10 $

Скорость течения реки ($v_p$) не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_p = -10$ не соответствует физическому смыслу задачи. Следовательно, скорость течения реки равна $v_p = 4$ км/ч.

Теперь мы можем найти скорость движения катера по течению, как требуется в условии задачи: $ v_{по} = v_c + v_p = 20 + 4 = 24 $ км/ч.

Ответ: 24 км/ч.