Номер 31.13, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.13, страница 177.

Условие.

31.13 Два автобуса выехали одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 48 км. Один из автобусов, двигаясь на 4 км/ч быстрее другого, прибыл в В на 10 мин раньше, чем другой. Найдите скорости автобусов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — скорость более медленного автобуса. Тогда скорость второго, более быстрого автобуса, составляет $(v + 4)$ км/ч.

Расстояние $S$ между пунктами А и В равно 48 км.

Время, которое затратил на путь медленный автобус, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{48}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь быстрый автобус, равно $t_2 = \frac{S}{v+4} = \frac{48}{v+4}$ часов.

По условию задачи, быстрый автобус прибыл в пункт В на 10 минут раньше. Выразим эту разницу во времени в часах, чтобы единицы измерения были согласованы:

10 мин = $\frac{10}{60}$ часа = $\frac{1}{6}$ часа.

Так как время медленного автобуса ($t_1$) больше времени быстрого ($t_2$) на $\frac{1}{6}$ часа, мы можем составить уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{6}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{48}{v} - \frac{48}{v+4} = \frac{1}{6}$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+4)$:

$\frac{48(v+4) - 48v}{v(v+4)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{48v + 192 - 48v}{v^2 + 4v} = \frac{1}{6}$

$\frac{192}{v^2 + 4v} = \frac{1}{6}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$1 \cdot (v^2 + 4v) = 192 \cdot 6$

$v^2 + 4v = 1152$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 4v - 1152 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1152) = 16 + 4608 = 4624$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-4 + 68}{2 \cdot 1} = \frac{64}{2} = 32$

$v_2 = \frac{-4 - 68}{2 \cdot 1} = \frac{-72}{2} = -36$

Скорость движения не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -36$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи и мы его отбрасываем.

Таким образом, скорость медленного автобуса равна 32 км/ч.

Скорость быстрого автобуса на 4 км/ч больше, следовательно, она равна: $32 + 4 = 36$ км/ч.

Ответ: скорости автобусов 32 км/ч и 36 км/ч.