Номер 31.10, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.10, страница 177.

Условие.

31.10 Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна сторона прямоугольника на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$, а диагональ как $d$.

По условию задачи, одна сторона на 14 см больше другой. Пусть $b$ будет большей стороной, тогда мы можем записать: $b = a + 14$ см.

Диагональ прямоугольника равна 34 см, то есть $d = 34$ см.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, где стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения в это уравнение. Заменим $b$ на $a + 14$ и $d$ на 34:

$a^2 + (a + 14)^2 = 34^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$a^2 + (a^2 + 2 \cdot a \cdot 14 + 14^2) = 1156$

$a^2 + a^2 + 28a + 196 = 1156$

$2a^2 + 28a + 196 - 1156 = 0$

$2a^2 + 28a - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$a^2 + 14a - 480 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$

Найдем корни уравнения:

$a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-14 \pm \sqrt{2116}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm 46}{2}$

Получаем два корня:

$a_1 = \frac{-14 + 46}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$a_2 = \frac{-14 - 46}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень $a = 16$ см.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:

$b = a + 14 = 16 + 14 = 30$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 30 см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$:

$S = 16 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 480 \text{ см}^2$

Ответ: $480 \text{ см}^2$.