Номер 31.8, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.8, страница 177.

Условие.

31.8 От квадратного листа отрезали полосу шириной 6 см. Площадь оставшейся части равна 135 $\text{см}^2$. Определите первоначальные размеры листа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть сторона первоначального квадратного листа равна $x$ см.

Когда от квадратного листа отрезали полосу шириной 6 см, получился прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника осталась равной стороне квадрата, то есть $x$ см, а вторая сторона стала короче на 6 см, то есть $(x - 6)$ см.

Площадь оставшейся части (прямоугольника) по условию равна 135 см². Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Составим уравнение:
$x \cdot (x - 6) = 135$

Для решения раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 6x = 135$
$x^2 - 6x - 135 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576$

Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 24}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 24}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Так как $x$ представляет собой длину стороны листа, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -9$ не является решением задачи.

Следовательно, первоначальная сторона квадратного листа была равна 15 см.

Проверка: если сторона квадрата 15 см, то после отрезания полосы в 6 см останется прямоугольник со сторонами 15 см и $(15 - 6) = 9$ см. Его площадь будет $15 \cdot 9 = 135$ см², что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначальные размеры листа 15 см × 15 см.