Номер 31.14, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.14, страница 177.

Условие.

31.14 Поезд был задержан у светофора на 24 мин и, чтобы прибыть на станцию назначения по расписанию, должен был оставшиеся 195 км пройти со скоростью, на 10 км/ч превышающей первоначальную. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда, чтобы наверстать опоздание и прибыть на станцию назначения по расписанию, поезд должен был ехать со скоростью $(v + 10)$ км/ч.

Оставшееся расстояние, которое необходимо было пройти, составляет 195 км.

Время, за которое поезд должен был проехать это расстояние по расписанию, составляет $t_1 = \frac{195}{v}$ часов.

Фактическое время, за которое поезд проехал это расстояние с увеличенной скоростью, составляет $t_2 = \frac{195}{v+10}$ часов.

Задержка у семафора составила 24 минуты. Для использования в уравнении необходимо перевести минуты в часы:

$24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5}$ ч.

Чтобы компенсировать задержку, поезд должен был сократить время в пути на 24 минуты. Это означает, что разница между временем по расписанию и фактическим временем движения на оставшемся участке равна времени задержки. Составим и решим уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{2}{5}$

$\frac{195}{v} - \frac{195}{v+10} = \frac{2}{5}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+10)$:

$\frac{195(v+10) - 195v}{v(v+10)} = \frac{2}{5}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{195v + 1950 - 195v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

$\frac{1950}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2(v^2 + 10v) = 1950 \cdot 5$

$2(v^2 + 10v) = 9750$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 10v = 4875$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$v^2 + 10v - 4875 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4875) = 100 + 19500 = 19600$

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$

$v_1 = \frac{-10 + 140}{2} = \frac{130}{2} = 65$

$v_2 = \frac{-10 - 140}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -75$ не соответствует условию задачи. Таким образом, единственным решением является $v_1 = 65$.

Ответ: первоначальная скорость поезда была 65 км/ч.