Номер 31.21, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.21, страница 178.

Условие.

31.21 a) $x^2 - 2(p - 1)x + p^2 - 2p - 3 = 0;$

б) $x^2 + 2(p + 1)x + p^2 + 2p - 8 = 0;$

в) $x^2 - 2(p - 1)x + p^2 - 2p - 15 = 0;$

г) $x^2 + 2(p + 3)x + p^2 + 6p - 7 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2(p - 1)x + p^2 - 2p - 3 = 0$ относительно переменной $x$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-2(p-1)$, $c=p^2-2p-3$.

Так как коэффициент $b$ является четным числом, воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через половину второго коэффициента $k = \frac{b}{2} = -(p-1)$.

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a} = -(-(p-1)) \pm \sqrt{(-(p-1))^2 - 1 \cdot (p^2 - 2p - 3)}$

Вычислим выражение под корнем (дискриминант, деленный на 4):

$\frac{D}{4} = k^2 - c = (p-1)^2 - (p^2 - 2p - 3) = (p^2 - 2p + 1) - p^2 + 2p + 3 = 4$

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = (p-1) \pm \sqrt{4} = p-1 \pm 2$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = p - 1 - 2 = p - 3$

$x_2 = p - 1 + 2 = p + 1$

Ответ: $x_1 = p - 3, x_2 = p + 1$.

б) Решим квадратное уравнение $x^2 + 2(p + 1)x + p^2 + 2p - 8 = 0$ относительно переменной $x$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2(p+1)$, $c=p^2+2p-8$.

Используем формулу для четного второго коэффициента, где $k = \frac{b}{2} = p+1$.

$x_{1,2} = -k \pm \sqrt{k^2 - c} = -(p+1) \pm \sqrt{(p+1)^2 - (p^2 + 2p - 8)}$

Вычислим выражение под корнем:

$\frac{D}{4} = (p+1)^2 - (p^2 + 2p - 8) = (p^2 + 2p + 1) - p^2 - 2p + 8 = 9$

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = -(p+1) \pm \sqrt{9} = -(p+1) \pm 3$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = -(p+1) - 3 = -p - 1 - 3 = -p - 4$

$x_2 = -(p+1) + 3 = -p - 1 + 3 = -p + 2$

Ответ: $x_1 = -p - 4, x_2 = -p + 2$.

в) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2(p - 1)x + p^2 - 2p - 15 = 0$ относительно переменной $x$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2(p-1)$, $c=p^2-2p-15$.

Используем формулу для четного второго коэффициента, где $k = \frac{b}{2} = -(p-1)$.

$x_{1,2} = -k \pm \sqrt{k^2 - c} = -(-(p-1)) \pm \sqrt{(-(p-1))^2 - (p^2 - 2p - 15)}$

Вычислим выражение под корнем:

$\frac{D}{4} = (p-1)^2 - (p^2 - 2p - 15) = (p^2 - 2p + 1) - p^2 + 2p + 15 = 16$

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = (p-1) \pm \sqrt{16} = p-1 \pm 4$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = p - 1 - 4 = p - 5$

$x_2 = p - 1 + 4 = p + 3$

Ответ: $x_1 = p - 5, x_2 = p + 3$.

г) Решим квадратное уравнение $x^2 + 2(p + 3)x + p^2 + 6p - 7 = 0$ относительно переменной $x$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2(p+3)$, $c=p^2+6p-7$.

Используем формулу для четного второго коэффициента, где $k = \frac{b}{2} = p+3$.

$x_{1,2} = -k \pm \sqrt{k^2 - c} = -(p+3) \pm \sqrt{(p+3)^2 - (p^2 + 6p - 7)}$

Вычислим выражение под корнем:

$\frac{D}{4} = (p+3)^2 - (p^2 + 6p - 7) = (p^2 + 6p + 9) - p^2 - 6p + 7 = 16$

Теперь найдем корни:

$x_{1,2} = -(p+3) \pm \sqrt{16} = -(p+3) \pm 4$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = -(p+3) - 4 = -p - 3 - 4 = -p - 7$

$x_2 = -(p+3) + 4 = -p - 3 + 4 = -p + 1$

Ответ: $x_1 = -p - 7, x_2 = -p + 1$.