Номер 31.28, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.28, страница 179.

Условие.

31.28 Для очистки пруда, содержащего $2800 \text{ м}^3$ воды, предполагалось к определённому сроку выкачать всю воду с помощью насосов. Так как насосов было прислано меньше, чем ожидалось, то ежедневно выкачивали на $20 \text{ м}^3$ меньше предполагаемой нормы. Через день после истечения намеченного срока оставалось выкачать ещё $100 \text{ м}^3$ воды. За сколько дней предполагалось выкачать воду первоначально?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ — количество дней, за которое предполагалось выкачать воду первоначально.

Общий объем воды в пруду составляет $2800 \text{ м}^3$.

Плановая ежедневная норма выкачки воды (производительность) составляет $\frac{2800}{x}$ м³/день.

Так как насосов было прислано меньше, фактическая ежедневная норма оказалась на $20 \text{ м}^3$ меньше плановой. Таким образом, фактическая производительность равна $(\frac{2800}{x} - 20)$ м³/день.

Работа продолжалась на один день дольше запланированного срока, то есть $(x + 1)$ день. За это время в пруду осталось еще $100 \text{ м}^3$ воды, значит, было выкачано $2800 - 100 = 2700 \text{ м}^3$ воды.

Составим уравнение, умножив фактическую производительность на фактическое время работы, чтобы получить фактический объем выкачанной воды:

$(\frac{2800}{x} - 20) \cdot (x + 1) = 2700$

Решим это уравнение. Раскроем скобки:

$\frac{2800}{x} \cdot x + \frac{2800}{x} - 20x - 20 = 2700$
$2800 + \frac{2800}{x} - 20x - 20 = 2700$
$2780 + \frac{2800}{x} - 20x = 2700$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{2800}{x} - 20x + 2780 - 2700 = 0$
$\frac{2800}{x} - 20x + 80 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что очевидно из условия задачи):

$2800 - 20x^2 + 80x = 0$

Разделим все уравнение на $-20$ для упрощения и расположим члены в стандартном порядке для квадратного уравнения:

$x^2 - 4x - 140 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576$

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 24}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 24}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Так как количество дней не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначально планировалось выкачать всю воду за 14 дней.

Ответ: 14 дней.