Номер 31.26, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.26, страница 179.

Условие.

31.26 В начале года завод выпускал 800 изделий в месяц. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. На сколько процентов завод увеличивал выпуск продукции каждый раз, если в конце года он выпускал уже 1152 изделия в месяц?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение:

Пусть начальный выпуск продукции составляет $A_0 = 800$ изделий в месяц. По условию, в течение года выпуск дважды увеличивали на одно и то же число процентов. Обозначим этот искомый процент как $p$.

Увеличение некоторой величины на $p$ процентов эквивалентно умножению этой величины на коэффициент $k = (1 + \frac{p}{100})$.

После первого увеличения выпуск продукции стал равен:

$A_1 = A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})$

После второго увеличения, которое применялось к новому значению $A_1$, итоговый выпуск $A_2$ составил:

$A_2 = A_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = \left(A_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})\right) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = A_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Из условия задачи нам известно, что в конце года завод выпускал $A_2 = 1152$ изделия. Подставим известные значения $A_0 = 800$ и $A_2 = 1152$ в полученную формулу:

$1152 = 800 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 800:

$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = \frac{1152}{800}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{1152}{800} = \frac{1152 \div 8}{800 \div 8} = \frac{144}{100} = 1.44$

Уравнение принимает вид:

$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = 1.44$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как речь идет об увеличении, основание степени $(1 + \frac{p}{100})$ должно быть положительным.

$1 + \frac{p}{100} = \sqrt{1.44}$

$1 + \frac{p}{100} = 1.2$

Выразим $\frac{p}{100}$:

$\frac{p}{100} = 1.2 - 1$

$\frac{p}{100} = 0.2$

Теперь найдем $p$:

$p = 0.2 \cdot 100 = 20$

Таким образом, завод каждый раз увеличивал выпуск продукции на 20%.

Ответ: на 20%.