Номер 31.20, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.20, страница 178.

Условие.

31.20 a) $x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0;$

б) $x^2 + 2\sqrt{5}x - 20 = 0;$

в) $x^2 + 6\sqrt{2}x + 18 = 0;$

г) $x^2 - 4\sqrt{2}x + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения квадратного уравнения $x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4\sqrt{3}$, $c=12$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 \cdot 3 - 48 = 48 - 48 = 0$.
Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), уравнение имеет один действительный корень.
Найдем корень по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

б) Решим квадратное уравнение $x^2 + 2\sqrt{5}x - 20 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2\sqrt{5}$, $c=-20$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (2\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 4 \cdot 5 + 80 = 20 + 80 = 100$.
Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-2\sqrt{5} \pm 10}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{5} \pm 10}{2} = -\sqrt{5} \pm 5$.
Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{5} + 5$ и $x_2 = -\sqrt{5} - 5$.
Ответ: $5 - \sqrt{5}; -5 - \sqrt{5}$.

в) Для решения квадратного уравнения $x^2 + 6\sqrt{2}x + 18 = 0$ воспользуемся формулой корней через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=6\sqrt{2}$, $c=18$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (6\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 36 \cdot 2 - 72 = 72 - 72 = 0$.
Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), уравнение имеет один действительный корень.
Найдем корень по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = -3\sqrt{2}$.
Ответ: $-3\sqrt{2}$.

г) Решим квадратное уравнение $x^2 - 4\sqrt{2}x + 4 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-4\sqrt{2}$, $c=4$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 \cdot 2 - 16 = 32 - 16 = 16$.
Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-4\sqrt{2}) \pm 4}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{2} \pm 4}{2} = 2\sqrt{2} \pm 2$.
Корни уравнения: $x_1 = 2\sqrt{2} + 2$ и $x_2 = 2\sqrt{2} - 2$.
Ответ: $2\sqrt{2} + 2; 2\sqrt{2} - 2$.