Номер 31.18, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.18, страница 178.

Условие.

31.18 Моторная лодка прошла 7 км по течению реки и 10 км против течения, затратив на путь по течению на 0,5 ч меньше, чем на путь против течения. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость хода лодки против течения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v_с$ – собственная скорость лодки, а $v_т$ – скорость течения реки. По условию, собственная скорость лодки $v_с = 12$ км/ч.

Скорость лодки при движении по течению составляет $v_{по} = v_с + v_т = 12 + v_т$ км/ч.

Скорость лодки при движении против течения составляет $v_{пр} = v_с - v_т = 12 - v_т$ км/ч.

Время, затраченное на путь 7 км по течению, равно $t_{по} = \frac{s_{по}}{v_{по}} = \frac{7}{12 + v_т}$ ч.

Время, затраченное на путь 10 км против течения, равно $t_{пр} = \frac{s_{пр}}{v_{пр}} = \frac{10}{12 - v_т}$ ч.

Согласно условию, время на путь по течению на 0,5 часа меньше, чем время на путь против течения. Это можно записать в виде уравнения: $t_{пр} - t_{по} = 0,5$

Подставим выражения для времени в это уравнение: $\frac{10}{12 - v_т} - \frac{7}{12 + v_т} = 0,5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(12 - v_т)(12 + v_т) = 144 - v_т^2$: $\frac{10(12 + v_т) - 7(12 - v_т)}{144 - v_т^2} = 0,5$

Раскроем скобки в числителе: $\frac{120 + 10v_т - 84 + 7v_т}{144 - v_т^2} = 0,5$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{36 + 17v_т}{144 - v_т^2} = 0,5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции, умножив обе части на знаменатель (при условии, что $v_т \neq 12$, что логично, иначе лодка не смогла бы двигаться против течения): $36 + 17v_т = 0,5 \cdot (144 - v_т^2)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $2 \cdot (36 + 17v_т) = 144 - v_т^2$ $72 + 34v_т = 144 - v_т^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v_т^2 + 34v_т + 72 - 144 = 0$ $v_т^2 + 34v_т - 72 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444$ $\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$

Найдем корни уравнения для $v_т$: $v_{т1} = \frac{-34 + 38}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $v_{т2} = \frac{-34 - 38}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как скорость течения не может быть отрицательной величиной, мы выбираем корень $v_т = 2$ км/ч.

В задаче требуется найти скорость хода лодки против течения: $v_{пр} = v_с - v_т = 12 - 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.