Номер 31.23, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.23, страница 178.

Условие.

31.23 a) $(p - 4)x^2 + (2p - 4)x + p = 0;$

б) $px^2 + 2(p + 1)x + p + 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение с параметром $p$: $(p - 4)x^2 + (2p - 4)x + p = 0$. Решение этого уравнения зависит от значения параметра $p$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ обращается в ноль. Это происходит при $p - 4 = 0$, то есть $p = 4$. В этом случае уравнение становится линейным. Подставим $p = 4$ в исходное уравнение: $(4 - 4)x^2 + (2 \cdot 4 - 4)x + 4 = 0$ $0 \cdot x^2 + (8 - 4)x + 4 = 0$ $4x + 4 = 0$ $4x = -4$ $x = -1$. Таким образом, при $p = 4$ уравнение имеет один корень.

2. Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $p \neq 4$. Уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты равны: $a = p - 4$, $b = 2p - 4$, $c = p$. $D = (2p - 4)^2 - 4(p - 4)p$ $D = (4p^2 - 16p + 16) - (4p^2 - 16p)$ $D = 4p^2 - 16p + 16 - 4p^2 + 16p = 16$. Поскольку дискриминант $D = 16 > 0$ при любом значении $p$, то при $p \neq 4$ уравнение всегда будет иметь два различных действительных корня. Найдем эти корни по общей формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_{1,2} = \frac{-(2p - 4) \pm \sqrt{16}}{2(p - 4)} = \frac{4 - 2p \pm 4}{2(p - 4)}$. Вычислим каждый корень отдельно: $x_1 = \frac{4 - 2p + 4}{2(p - 4)} = \frac{8 - 2p}{2(p - 4)} = \frac{-2(p - 4)}{2(p - 4)} = -1$. $x_2 = \frac{4 - 2p - 4}{2(p - 4)} = \frac{-2p}{2(p - 4)} = -\frac{p}{p - 4}$.

Ответ: при $p = 4$ уравнение имеет один корень $x = -1$; при $p \neq 4$ уравнение имеет два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{p}{p-4}$.

б)

Дано уравнение с параметром $p$: $px^2 + 2(p + 1)x + p + 3 = 0$. Решение этого уравнения зависит от значения параметра $p$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ обращается в ноль. Это происходит при $p = 0$. В этом случае уравнение становится линейным. Подставим $p = 0$ в исходное уравнение: $0 \cdot x^2 + 2(0 + 1)x + 0 + 3 = 0$ $2x + 3 = 0$ $2x = -3$ $x = -1.5$. Таким образом, при $p = 0$ уравнение имеет один корень.

2. Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $p \neq 0$. Уравнение является квадратным. Коэффициенты: $a = p$, $b = 2(p + 1)$, $c = p + 3$. Поскольку коэффициент $b$ четный, удобно вычислить дискриминант, деленный на 4: $D/4 = (\frac{b}{2})^2 - ac$, где $\frac{b}{2} = p + 1$. $D/4 = (p + 1)^2 - p(p + 3)$ $D/4 = (p^2 + 2p + 1) - (p^2 + 3p)$ $D/4 = p^2 + 2p + 1 - p^2 - 3p = 1 - p$. Количество действительных корней зависит от знака $D/4$.

а) Уравнение имеет два различных действительных корня, если $D/4 > 0$, то есть $1 - p > 0 \implies p < 1$. С учетом условия $p \neq 0$, это выполняется для всех $p \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D/4}}{a}$: $x_{1,2} = \frac{-(p + 1) \pm \sqrt{1 - p}}{p} = \frac{-p - 1 \pm \sqrt{1 - p}}{p}$.

б) Уравнение имеет один действительный корень (кратности 2), если $D/4 = 0$, то есть $1 - p = 0 \implies p = 1$. Этот корень равен $x = \frac{-b/2}{a}$: $x = \frac{-(p + 1)}{p} = \frac{-(1 + 1)}{1} = -2$.

в) Уравнение не имеет действительных корней, если $D/4 < 0$, то есть $1 - p < 0 \implies p > 1$.

Ответ: при $p > 1$ действительных корней нет; при $p = 1$ один корень $x = -2$; при $p=0$ один корень $x = -1.5$; при $p < 1$ и $p \neq 0$ два корня $x_{1,2} = \frac{-p-1 \pm \sqrt{1-p}}{p}$.