Номер 31.11, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.11, страница 177.

Условие.

31.11 Мотоциклист задержался с выездом на 6 мин. Чтобы наверстать потерянное время, он увеличил намеченную скорость на 10 $ \text{км/ч} $. С какой скоростью ехал мотоциклист, если весь путь равен 30 км?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение.

Пусть $v$ (км/ч) — это намеченная (плановая) скорость мотоциклиста. Поскольку он увеличил скорость на 10 км/ч, его фактическая скорость составила $v + 10$ км/ч.

Весь путь равен $S = 30$ км.

Время, которое мотоциклист планировал потратить на весь путь, можно выразить формулой $t_{план} = \frac{S}{v} = \frac{30}{v}$ часов.

Фактическое время, затраченное на путь, составило $t_{факт} = \frac{S}{v+10} = \frac{30}{v+10}$ часов.

Мотоциклист задержался с выездом на 6 минут. Чтобы наверстать это время, он ехал быстрее, и разница между плановым и фактическим временем в пути как раз равна этим 6 минутам. Переведем 6 минут в часы:

$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$

Теперь составим уравнение, приравняв разницу во времени к времени задержки:

$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{10}$

$\frac{30}{v} - \frac{30}{v+10} = \frac{1}{10}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$:

$\frac{30(v+10) - 30v}{v(v+10)} = \frac{1}{10}$

$\frac{30v + 300 - 30v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{10}$

$\frac{300}{v^2 + 10v} = \frac{1}{10}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$v^2 + 10v = 300 \cdot 10$

$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдем корни уравнения:

$v_{1} = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_{2} = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Значит, плановая скорость мотоциклиста была $v = 50$ км/ч.

В вопросе требуется найти скорость, с которой ехал мотоциклист, то есть его фактическую скорость. Она была на 10 км/ч больше плановой:

$50 + 10 = 60$ (км/ч)

Проверка:

Плановое время: $\frac{30 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = \frac{3}{5}$ часа = 36 минут.

Фактическое время: $\frac{30 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{1}{2}$ часа = 30 минут.

Разница во времени: $36 - 30 = 6$ минут. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 60 км/ч.