Номер 31.4, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 31. Ещё одна формула корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 31.4, страница 176.

Условие.

31.4 а) $x^2 - 2x - 1 = 0;$

б) $x^2 + 4x + 1 = 0;$

в) $x^2 + 2x - 2 = 0;$

г) $x^2 - 6x + 7 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим данное квадратное уравнение методом выделения полного квадрата. Для этого перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения:

$x^2 - 2x = 1$

Чтобы выражение в левой части стало полным квадратом $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нам нужно добавить к нему член $a^2$. В нашем случае $2ax = 2x$, значит $a=1$. Следовательно, нужно добавить $a^2 = 1^2 = 1$ к обеим частям уравнения:

$x^2 - 2x + 1 = 1 + 1$

Теперь левая часть является полным квадратом $(x-1)^2$:

$(x - 1)^2 = 2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x - 1 = \pm\sqrt{2}$

Отсюда находим два корня, перенеся -1 в правую часть:

$x_1 = 1 + \sqrt{2}$, $x_2 = 1 - \sqrt{2}$

Ответ: $1 \pm \sqrt{2}$

б) $x^2 + 4x + 1 = 0$

Решим уравнение методом выделения полного квадрата. Перенесем свободный член (1) в правую часть:

$x^2 + 4x = -1$

Чтобы левая часть стала полным квадратом $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$, нужно добавить $a^2$. У нас $2ax=4x$, значит $a=2$. Добавляем $a^2 = 2^2 = 4$ к обеим частям:

$x^2 + 4x + 4 = -1 + 4$

Сворачиваем левую часть в полный квадрат:

$(x + 2)^2 = 3$

Извлекаем квадратный корень:

$x + 2 = \pm\sqrt{3}$

Находим корни уравнения:

$x_1 = -2 + \sqrt{3}$, $x_2 = -2 - \sqrt{3}$

Ответ: $-2 \pm \sqrt{3}$

в) $x^2 + 2x - 2 = 0$

Решим уравнение методом выделения полного квадрата. Перенесем свободный член (-2) в правую часть:

$x^2 + 2x = 2$

Для получения полного квадрата в левой части, определим недостающий член. Для $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$, имеем $2ax=2x$, откуда $a=1$. Добавим $a^2 = 1^2 = 1$ к обеим частям:

$x^2 + 2x + 1 = 2 + 1$

Свернем левую часть:

$(x + 1)^2 = 3$

Извлечем квадратный корень:

$x + 1 = \pm\sqrt{3}$

Находим корни уравнения:

$x_1 = -1 + \sqrt{3}$, $x_2 = -1 - \sqrt{3}$

Ответ: $-1 \pm \sqrt{3}$

г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

Решим уравнение методом выделения полного квадрата. Перенесем свободный член (7) в правую часть:

$x^2 - 6x = -7$

Чтобы левая часть стала полным квадратом $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нужно добавить $a^2$. У нас $2ax = 6x$, значит $a=3$. Добавляем $a^2 = 3^2 = 9$ к обеим частям:

$x^2 - 6x + 9 = -7 + 9$

Сворачиваем левую часть в полный квадрат:

$(x - 3)^2 = 2$

Извлекаем квадратный корень:

$x - 3 = \pm\sqrt{2}$

Находим корни уравнения:

$x_1 = 3 + \sqrt{2}$, $x_2 = 3 - \sqrt{2}$

Ответ: $3 \pm \sqrt{2}$