Номер 30.42, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.42, страница 175.

Условие.

30.42 Расстояние между городами равно 44 км. Из этих городов навстречу друг другу вышли одновременно два пешехода и встретились через 4 ч. Если бы первый вышел на 44 мин раньше второго, то их встреча произошла бы в середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода в км/ч, а $v_2$ — скорость второго пешехода в км/ч. Расстояние между городами $S = 44$ км.

1. Анализ первого условия.

Пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через $t_1 = 4$ ч. При движении навстречу их скорости складываются. Скорость сближения равна $v_1 + v_2$. Расстояние, которое они прошли вместе, равно общему расстоянию $S$.

Составим уравнение на основе формулы пути $S = v \cdot t$:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_1$

$44 = (v_1 + v_2) \cdot 4$

Отсюда найдем сумму скоростей пешеходов:

$v_1 + v_2 = \frac{44}{4}$

$v_1 + v_2 = 11$

Это первое уравнение системы.

2. Анализ второго условия.

Если бы первый пешеход вышел на 44 минуты раньше второго, их встреча произошла бы в середине пути. Середина пути — это $S_{сер} = \frac{44}{2} = 22$ км от каждого города. Это означает, что к моменту встречи каждый пешеход прошел по 22 км.

Время, которое был в пути первый пешеход, равно $t_{первый} = \frac{22}{v_1}$.

Время, которое был в пути второй пешеход, равно $t_{второй} = \frac{22}{v_2}$.

По условию, первый пешеход вышел раньше на 44 минуты. Переведем это время в часы:

$\Delta t = 44 \text{ мин} = \frac{44}{60} \text{ ч} = \frac{11}{15} \text{ ч}$.

Так как первый пешеход был в пути дольше, то $t_{первый} = t_{второй} + \Delta t$.

Подставим выражения для времени:

$\frac{22}{v_1} = \frac{22}{v_2} + \frac{11}{15}$

Это второе уравнение системы. Для удобства разделим все его члены на 11:

$\frac{2}{v_1} = \frac{2}{v_2} + \frac{1}{15}$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 11 \\ \frac{2}{v_1} = \frac{2}{v_2} + \frac{1}{15} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_1$:

$v_1 = 11 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{2}{11 - v_2} = \frac{2}{v_2} + \frac{1}{15}$

Перенесем слагаемое с $v_2$ в левую часть:

$\frac{2}{11 - v_2} - \frac{2}{v_2} = \frac{1}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(11 - v_2)$:

$\frac{2v_2 - 2(11 - v_2)}{v_2(11 - v_2)} = \frac{1}{15}$

$\frac{2v_2 - 22 + 2v_2}{11v_2 - v_2^2} = \frac{1}{15}$

$\frac{4v_2 - 22}{11v_2 - v_2^2} = \frac{1}{15}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$15(4v_2 - 22) = 1 \cdot (11v_2 - v_2^2)$

$60v_2 - 330 = 11v_2 - v_2^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_2^2 + 60v_2 - 11v_2 - 330 = 0$

$v_2^2 + 49v_2 - 330 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 49^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-330) = 2401 + 1320 = 3721$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Теперь найдем корни уравнения для $v_2$:

$v_{2,1} = \frac{-49 + 61}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$v_{2,2} = \frac{-49 - 61}{2} = \frac{-110}{2} = -55$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_2 = 6$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого пешехода, используя первое уравнение:

$v_1 = 11 - v_2 = 11 - 6 = 5$

$v_1 = 5$ км/ч.

Таким образом, скорость первого пешехода составляет 5 км/ч, а второго — 6 км/ч.

Ответ: скорость первого пешехода — 5 км/ч, скорость второго пешехода — 6 км/ч.