Номер 30.37, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.37, страница 175.

Условие.

30.37 Расстояние между станциями $A$ и $B$ равно $240 \text{ км}$. Из $B$ по направлению к $A$ вышел поезд. Через $30 \text{ мин}$ навстречу ему из $A$ вышел другой поезд, скорость которого на $12 \text{ км/ч}$ больше скорости первого поезда. Найдите скорости поездов, если известно, что они встретились на середине пути между $A$ и $B$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Обозначим скорость первого поезда, который вышел из пункта B в направлении пункта A, как $v$ км/ч. Согласно условию, скорость второго поезда, который вышел из пункта A навстречу первому, на 12 км/ч больше, следовательно, его скорость равна $(v + 12)$ км/ч.

Общее расстояние между станциями A и B составляет 240 км. Поезда встретились на середине пути, это значит, что каждый из них проехал до момента встречи ровно половину этого расстояния:

$S_1 = S_2 = \frac{240}{2} = 120$ км.

Время, которое потребовалось первому поезду, чтобы проехать свои 120 км, можно выразить через его скорость: $t_1 = \frac{120}{v}$ часов.

Аналогично, время, которое потребовалось второму поезду, чтобы проехать свои 120 км: $t_2 = \frac{120}{v+12}$ часов.

Из условия известно, что второй поезд вышел на 30 минут (то есть на 0,5 часа) позже первого. Это означает, что первый поезд находился в пути на 0,5 часа дольше, чем второй. На основе этого можно составить уравнение:

$t_1 = t_2 + 0.5$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{120}{v} = \frac{120}{v+12} + 0.5$

Для решения перенесем дробь с переменной в левую часть:

$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+12} = 0.5$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v(v+12)$:

$\frac{120(v+12) - 120v}{v(v+12)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120v + 1440 - 120v}{v^2 + 12v} = 0.5$

$\frac{1440}{v^2 + 12v} = 0.5$

Воспользуемся свойством пропорции, чтобы избавиться от знаменателя (при условии $v \neq 0$ и $v \neq -12$, что верно, так как скорость — положительная величина):

$1440 = 0.5 \cdot (v^2 + 12v)$

Умножим обе части уравнения на 2:

$2880 = v^2 + 12v$

Получили квадратное уравнение. Запишем его в стандартном виде:

$v^2 + 12v - 2880 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2880) = 144 + 11520 = 11664$

Найдем корни уравнения. Так как $\sqrt{11664} = 108$, то:

$v_1 = \frac{-12 + 108}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$v_2 = \frac{-12 - 108}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Таким образом, скорость первого поезда (из B в A) составляет 48 км/ч.

Найдем скорость второго поезда (из A в B):

$v + 12 = 48 + 12 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость поезда, вышедшего из B, равна 48 км/ч, а скорость поезда, вышедшего из A, равна 60 км/ч.