Номер 30.35, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.35, страница 174.

Условие.

30.35 Пешеход прошёл расстояние от пункта C до пункта M за 3 ч. Возвращаясь, он первые 16 км шёл с той же скоростью, а затем снизил скорость на 1 км/ч, вследствие чего затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из C в M. Чему равно расстояние между пунктами C и M?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $S$ (в км) — расстояние между пунктами С и М, а $v$ (в км/ч) — первоначальная скорость пешехода.

По условию, пешеход прошёл расстояние от С до М за 3 часа. Таким образом, мы можем составить первое уравнение, связывающее расстояние, скорость и время:

$S = v \cdot 3$

Отсюда первоначальная скорость пешехода равна $v = \frac{S}{3}$.

На обратном пути (из М в С) пешеход затратил на 4 минуты больше, чем на путь из С в М. Переведём 4 минуты в часы для согласованности единиц измерения:

$4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч}$

Следовательно, время, затраченное на обратный путь, составило:

$t_{обр} = 3 \text{ ч} + \frac{1}{15} \text{ ч} = \frac{45}{15} + \frac{1}{15} = \frac{46}{15} \text{ ч}$

Обратный путь состоял из двух участков. Рассчитаем время, затраченное на каждый участок:

1. Первый участок: расстояние $S_1 = 16$ км, скорость была такой же, как и первоначальная, то есть $v_1 = v$ (км/ч). Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{16}{v}$ ч.

2. Второй участок: оставшееся расстояние $S_2 = S - 16$ км. Скорость на этом участке была на 1 км/ч меньше, то есть $v_2 = v - 1$ (км/ч). Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S - 16}{v - 1}$ ч.

Общее время на обратный путь равно сумме времён, затраченных на два участка:

$t_{обр} = t_1 + t_2$

Подставим известные значения и выражения:

$\frac{46}{15} = \frac{16}{v} + \frac{S - 16}{v - 1}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $S$ из первого уравнения ($S = 3v$) во второе:

$\frac{46}{15} = \frac{16}{v} + \frac{3v - 16}{v - 1}$

Теперь решим это уравнение относительно $v$. Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $v(v - 1)$:

$\frac{46}{15} = \frac{16(v - 1) + v(3v - 16)}{v(v - 1)}$

$\frac{46}{15} = \frac{16v - 16 + 3v^2 - 16v}{v^2 - v}$

$\frac{46}{15} = \frac{3v^2 - 16}{v^2 - v}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$46(v^2 - v) = 15(3v^2 - 16)$

$46v^2 - 46v = 45v^2 - 240$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$46v^2 - 45v^2 - 46v + 240 = 0$

$v^2 - 46v + 240 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 2116 - 960 = 1156$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Найдём два возможных значения для скорости $v$:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + 34}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы получили два положительных корня. Однако, по условию задачи речь идет о пешеходе. Скорость 40 км/ч является нереалистичной для пешехода, это скорее скорость автомобиля. Скорость 6 км/ч является вполне возможной для быстро идущего человека. Поэтому, исходя из физического смысла задачи, выбираем корень $v = 6$ км/ч.

Теперь, зная первоначальную скорость, мы можем найти искомое расстояние между пунктами С и М:

$S = 3 \cdot v = 3 \cdot 6 = 18$ км.

Ответ: 18 км.