Номер 30.31, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.31, страница 174.

Условие.

30.31 Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если из числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на $ \frac{1}{12} $. Найдите эту дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Из первого условия задачи, что числитель на 1 меньше знаменателя, следует уравнение:
$x = y - 1$

Второе условие гласит, что если из числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на $\frac{1}{12}$. Новая дробь будет равна $\frac{x-1}{y-1}$. Составим уравнение на основе этого условия:
$\frac{x}{y} - \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Чтобы ее решить, подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$\frac{y-1}{y} - \frac{(y-1)-1}{y-1} = \frac{1}{12}$
Упростим левую часть уравнения:
$\frac{y-1}{y} - \frac{y-2}{y-1} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y(y-1)$. При этом $y \ne 0$ и $y \ne 1$.
$\frac{(y-1)(y-1) - y(y-2)}{y(y-1)} = \frac{1}{12}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{(y^2 - 2y + 1) - (y^2 - 2y)}{y^2 - y} = \frac{1}{12}$
$\frac{y^2 - 2y + 1 - y^2 + 2y}{y^2 - y} = \frac{1}{12}$
После приведения подобных слагаемых в числителе остается:
$\frac{1}{y^2 - y} = \frac{1}{12}$

Из полученной пропорции следует, что знаменатели дробей равны:
$y^2 - y = 12$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 - y - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

По определению, знаменатель обыкновенной дроби ($y$) должен быть натуральным числом (целым и положительным). Следовательно, корень $y_2 = -3$ не подходит.
Единственным решением для знаменателя является $y = 4$.

Теперь найдем числитель $x$, используя первое уравнение:
$x = y - 1 = 4 - 1 = 3$

Значит, искомая дробь — это $\frac{3}{4}$.

Выполним проверку:
1. Числитель 3 на 1 меньше знаменателя 4. $3=4-1$. Условие выполнено.
2. Если вычесть 1 из числителя и знаменателя, получится дробь $\frac{3-1}{4-1} = \frac{2}{3}$.
3. Разность между исходной и новой дробью: $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12}$. Условие выполнено.

Решение найдено верно.
Ответ: $\frac{3}{4}$