Номер 30.38, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.38, страница 175.

Условие.

30.38 Расстояние по реке между пристанями равно 21 км. Отправляясь от одной пристани к другой, катер возвращается обратно через 4 ч, затрачивая из этого времени 30 мин на стоянку. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2,5 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

1. Определим общее время движения катера.
Общее время поездки составляет 4 часа, из которых 30 минут ушло на стоянку. Сначала найдем чистое время движения катера, вычтя время стоянки из общего времени.
Время стоянки: $30 \text{ мин} = 0,5 \text{ ч}$.
Время, которое катер находился в движении:
$t_{движения} = 4 \text{ ч} - 0,5 \text{ ч} = 3,5 \text{ ч}$.

2. Составим уравнение.
Пусть $x$ км/ч – собственная скорость катера. Это скорость катера в стоячей воде, которую нам нужно найти.
Скорость течения реки дана и равна $2,5$ км/ч.
- Скорость катера по течению реки (когда течение помогает): $v_{по\_теч} = (x + 2,5)$ км/ч.
- Скорость катера против течения реки (когда течение мешает): $v_{против\_теч} = (x - 2,5)$ км/ч.

Расстояние между пристанями равно $S = 21$ км. Используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$, найдем время для каждого участка пути:
- Время, затраченное на путь по течению: $t_1 = \frac{21}{x + 2,5}$ ч.
- Время, затраченное на путь против течения: $t_2 = \frac{21}{x - 2,5}$ ч.

Общее время движения катера равно сумме времени движения по течению и против течения:
$t_{движения} = t_1 + t_2$.
Подставляем известные значения и получаем уравнение:
$\frac{21}{x + 2,5} + \frac{21}{x - 2,5} = 3,5$.
Важно отметить, что собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, иначе он не сможет двигаться против течения, то есть $x > 2,5$.

3. Решим полученное уравнение.
Вынесем общий множитель 21 за скобки:
$21 \left( \frac{1}{x + 2,5} + \frac{1}{x - 2,5} \right) = 3,5$.
Разделим обе части уравнения на 3,5 (или, что то же самое, на $\frac{7}{2}$):
$\frac{21}{3,5} \left( \frac{1}{x + 2,5} + \frac{1}{x - 2,5} \right) = 1$.
$6 \left( \frac{1}{x + 2,5} + \frac{1}{x - 2,5} \right) = 1$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(x + 2,5)(x - 2,5) = x^2 - 2,5^2 = x^2 - 6,25$:
$6 \left( \frac{(x - 2,5) + (x + 2,5)}{(x + 2,5)(x - 2,5)} \right) = 1$.
$6 \left( \frac{2x}{x^2 - 6,25} \right) = 1$.
$\frac{12x}{x^2 - 6,25} = 1$.
Это рациональное уравнение. Умножим обе части на знаменатель $x^2 - 6,25$ (при условии, что он не равен нулю, что выполняется, так как $x > 2,5$):
$12x = x^2 - 6,25$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 12x - 6,25 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6,25) = 144 + 25 = 169 = 13^2$.
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 13}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$.
$x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 13}{2} = -\frac{1}{2} = -0,5$.

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -0,5$ не подходит по смыслу задачи. Корень $x_1 = 12,5$ удовлетворяет условию $x > 2,5$.
Следовательно, собственная скорость катера равна 12,5 км/ч.

Ответ: 12,5 км/ч.