Номер 30.43, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.43, страница 176.

Условие.

30.43 Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеривался проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью ехал велосипедист?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

1. Составление математической модели

Пусть $v$ (в км/ч) – это планируемая скорость велосипедиста. Общее расстояние, которое нужно проехать, составляет $S = 96$ км.
Планируемое время в пути: $t_{пл} = \frac{S}{v} = \frac{96}{v}$ часов.

Обозначим фактическую скорость как $v_{ф}$, а фактическое время как $t_{ф}$.
Согласно первому условию, велосипедист ехал на 2 часа быстрее, чем планировал:
$t_{ф} = t_{пл} - 2 = \frac{96}{v} - 2$.

Второе условие связывает фактическую и планируемую скорости. "За каждый час он проезжал на 1 км больше, чем намеревался проезжать за 1 ч 15 мин".
Сначала переведем 1 час 15 минут в часы:
$1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + 0.25 \text{ ч} = 1.25$ часа.
Расстояние, которое велосипедист намеревался проехать за 1.25 часа с планируемой скоростью $v$, равно $1.25 \cdot v$ км.
Расстояние, которое он проезжал за 1 час фактически, — это его фактическая скорость $v_{ф}$.
Из этого условия следует уравнение:
$v_{ф} = (1.25 \cdot v) + 1$.

Теперь у нас есть система уравнений. Мы знаем, что $t_{ф} = \frac{96}{v_{ф}}$. Подставим сюда известные нам выражения:
$\frac{96}{v} - 2 = \frac{96}{1.25v + 1}$

2. Решение уравнения

Мы получили уравнение с одной неизвестной $v$. Решим его.
$\frac{96 - 2v}{v} = \frac{96}{1.25v + 1}$
Используем свойство пропорции:
$(96 - 2v)(1.25v + 1) = 96v$
Раскроем скобки в левой части:
$96 \cdot 1.25v + 96 \cdot 1 - 2v \cdot 1.25v - 2v \cdot 1 = 96v$
$120v + 96 - 2.5v^2 - 2v = 96v$
Приведем подобные слагаемые:
$118v + 96 - 2.5v^2 = 96v$
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2.5v^2 - 118v + 96v - 96 = 0$
$2.5v^2 - 22v - 96 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:
$5v^2 - 44v - 192 = 0$

Найдем корни уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a=5, b=-44, c=-192$
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-192) = 1936 + 3840 = 5776$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$.
Найдем возможные значения $v$:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 + 76}{2 \cdot 5} = \frac{120}{10} = 12$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 - 76}{2 \cdot 5} = \frac{-32}{10} = -3.2$
Скорость не может быть отрицательной, поэтому планируемая скорость велосипедиста $v = 12$ км/ч.

3. Нахождение фактической скорости

В задаче спрашивается, с какой скоростью ехал велосипедист, то есть необходимо найти фактическую скорость $v_{ф}$.
Воспользуемся формулой, выведенной ранее:
$v_{ф} = 1.25v + 1$
Подставим найденное значение $v = 12$ км/ч:
$v_{ф} = 1.25 \cdot 12 + 1 = 15 + 1 = 16$
Фактическая скорость велосипедиста равна 16 км/ч.

Проверка:
Планируемое время: $t_{пл} = 96 \text{ км} / 12 \text{ км/ч} = 8$ часов.
Фактическое время: $t_{ф} = 96 \text{ км} / 16 \text{ км/ч} = 6$ часов.
$8 - 6 = 2$ часа. Первое условие выполнено.
Планируемое расстояние за 1.25 часа: $12 \text{ км/ч} \cdot 1.25 \text{ ч} = 15$ км.
Фактическая скорость $16$ км/ч на $1$ км/ч больше, чем $15$ км. Второе условие выполнено.

Ответ: 16 км/ч.