Номер 30.45, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.45, страница 176.

Условие.

30.45 В сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, добавили 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30 %. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $M$ кг — первоначальная масса сплава. По условию, в сплаве содержалось 5 кг цинка. Следовательно, масса меди в первоначальном сплаве составляла $(M - 5)$ кг.

Процентное содержание цинка в первоначальном сплаве (в долях от единицы) равно:

$C_1 = \frac{\text{масса цинка}}{\text{масса сплава}} = \frac{5}{M}$

Также по условию известно, что в первоначальном сплаве меди было больше, чем цинка. Запишем это в виде неравенства:

$M - 5 > 5$

$M > 10$ кг.

Это условие понадобится нам для выбора правильного корня уравнения.

После того как в сплав добавили 15 кг цинка, масса цинка в новом сплаве стала $5 + 15 = 20$ кг, а общая масса нового сплава стала $(M + 15)$ кг. Процентное содержание цинка в новом сплаве равно:

$C_2 = \frac{20}{M + 15}$

Из условия известно, что содержание цинка в сплаве повысилось на 30%, что означает, что разница между новым и старым процентным содержанием составляет 30 процентных пунктов, или 0,3 в долях от единицы. Составим уравнение:

$C_2 - C_1 = 0.3$

$\frac{20}{M + 15} - \frac{5}{M} = 0.3$

Теперь решим это уравнение. Для этого умножим обе части на общий знаменатель $M(M + 15)$, при условии что $M \neq 0$ и $M \neq -15$, что очевидно для массы сплава.

$20M - 5(M + 15) = 0.3M(M + 15)$

$20M - 5M - 75 = 0.3M^2 + 4.5M$

$15M - 75 = 0.3M^2 + 4.5M$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $aM^2 + bM + c = 0$:

$0.3M^2 - 10.5M + 75 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены уравнения на 10:

$3M^2 - 105M + 750 = 0$

Разделим все члены на 3 для упрощения:

$M^2 - 35M + 250 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета или формулой для корней. Посчитаем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 250 = 1225 - 1000 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Корни уравнения:

$M_1 = \frac{-(-35) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{35 + 15}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$M_2 = \frac{-(-35) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{35 - 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для первоначальной массы сплава: 25 кг и 10 кг. Теперь нужно проверить их на соответствие условию $M > 10$ кг.

• Корень $M_2 = 10$ не удовлетворяет условию $M > 10$. Если бы масса сплава была 10 кг, то масса меди была бы $10 - 5 = 5$ кг, что не больше массы цинка (5 кг).
• Корень $M_1 = 25$ удовлетворяет условию $25 > 10$. В этом случае масса меди составляет $25 - 5 = 20$ кг, что больше 5 кг.

Таким образом, единственное подходящее решение — 25 кг.

Ответ: 25 кг.