Номер 32.7, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.7, страница 180.

Условие.

32.7 Пуcть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Найдите:

a) $b$ и $c$, если $a = 2$, $x_1 = 3$, $x_2 = -0,5$;

б) $a$ и $c$, если $b = -1$, $x_1 = 3$, $x_2 = -4$;

в) $a$ и $b$, если $c = 4$, $x_1 = -2$, $x_2 = -0,25$;

г) $a$ и $c$, если $b = 6$, $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) b и c, если a = 2, x₁ = 3, x₂ = -0,5;

Для нахождения неизвестных коэффициентов воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Сначала найдем коэффициент $b$. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = 3 + (-0,5) = 2,5$.
Подставим известные значения $a=2$ и сумму корней в формулу:
$2,5 = -b/2$
Отсюда $b = -2,5 \cdot 2 = -5$.

Теперь найдем коэффициент $c$. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-0,5) = -1,5$.
Подставим известные значения $a=2$ и произведение корней в формулу:
$-1,5 = c/2$
Отсюда $c = -1,5 \cdot 2 = -3$.
Ответ: $b = -5$, $c = -3$.

б) a и c, если b = -1, x₁ = 3, x₂ = -4;

Используем теорему Виета. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Найдем коэффициент $a$. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = 3 + (-4) = -1$.
Подставим известные значения $b=-1$ и сумму корней в формулу:
$-1 = -(-1)/a$
$-1 = 1/a$
Отсюда $a = -1$.

Найдем коэффициент $c$. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-4) = -12$.
Подставим найденное значение $a=-1$ и произведение корней в формулу:
$-12 = c/(-1)$
Отсюда $c = 12$.
Ответ: $a = -1$, $c = 12$.

в) a и b, если c = 4, x₁ = -2, x₂ = -0,25;

Применим теорему Виета: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Найдем коэффициент $a$. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-0,25) = 0,5$.
Подставим известные значения $c=4$ и произведение корней в формулу:
$0,5 = 4/a$
$a = 4 / 0,5 = 8$.

Найдем коэффициент $b$. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = -2 + (-0,25) = -2,25$.
Подставим найденное значение $a=8$ и сумму корней в формулу:
$-2,25 = -b/8$
$b = 2,25 \cdot 8 = 18$.
Ответ: $a = 8$, $b = 18$.

г) a и c, если b = 6, x₁ = 3, x₂ = -4.

Воспользуемся теоремой Виета: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

Найдем коэффициент $a$. Вычислим сумму корней:
$x_1 + x_2 = 3 + (-4) = -1$.
Подставим известные значения $b=6$ и сумму корней в формулу:
$-1 = -6/a$
Отсюда $a = 6$.

Найдем коэффициент $c$. Вычислим произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-4) = -12$.
Подставим найденное значение $a=6$ и произведение корней в формулу:
$-12 = c/6$
$c = -12 \cdot 6 = -72$.
Ответ: $a = 6$, $c = -72$.