Номер 32.6, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 32. Теорема Виета и её применение. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 32.6, страница 180.

Условие.

32.6 Может ли квадратное уравнение $x^2 + bx - 8 = 0$:

а) не иметь корней;

б) иметь равные корни;

в) иметь два различных корня разных знаков;

г) иметь два различных корня одного и того же знака?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для анализа квадратного уравнения $x^2 + bx - 8 = 0$ и ответа на поставленные вопросы, рассмотрим его дискриминант и применим теорему Виета.

Дискриминант $D$ для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Он определяет количество действительных корней. В нашем уравнении коэффициенты $a=1$, $b$ является параметром, а $c=-8$.Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = b^2 + 32$.Поскольку квадрат любого действительного числа $b$ неотрицателен ($b^2 \ge 0$), то дискриминант $D = b^2 + 32$ всегда будет строго положителен ($D \ge 32 > 0$). Это означает, что при любом действительном значении параметра $b$ данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Теперь обратимся к теореме Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения: $x_1+x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$.Для нашего уравнения $x^2 + bx - 8 = 0$ имеем:$x_1 + x_2 = -b$$x_1 \cdot x_2 = -8$Так как произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -8$ является отрицательным числом, это означает, что корни уравнения всегда имеют разные знаки (один корень положительный, а другой — отрицательный).

а) не иметь корней
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен ($D < 0$). Как было показано выше, дискриминант данного уравнения $D = b^2 + 32$ всегда положителен. Следовательно, уравнение не может не иметь корней.

Ответ: не может.

б) иметь равные корни
Уравнение имеет равные корни (один корень кратности 2), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$). В нашем случае $D = b^2 + 32$. Уравнение $b^2 + 32 = 0$ не имеет действительных решений для $b$, так как $b^2 = -32$. Следовательно, дискриминант никогда не равен нулю, и уравнение не может иметь равных корней.

Ответ: не может.

в) иметь два различных корня разных знаков
Для того чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положителен ($D > 0$). Для того чтобы корни имели разные знаки, их произведение должно быть отрицательным ($x_1 \cdot x_2 < 0$). Как мы установили, $D = b^2 + 32 > 0$ и $x_1 \cdot x_2 = -8 < 0$ для любого действительного значения $b$. Оба условия выполняются, значит, уравнение всегда имеет два различных корня разных знаков.

Ответ: может.

г) иметь два различных корня одного и того же знака
Для того чтобы корни были одного знака, их произведение должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$). Однако по теореме Виета произведение корней нашего уравнения равно -8, то есть оно отрицательно. Это противоречит условию, следовательно, уравнение не может иметь два корня одного знака.

Ответ: не может.