Номер 30.9, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.9, страница 171.

Условие.

30.9 Велосипедист ехал с определённой скоростью 16 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 4 км/ч. На весь путь туда и обратно велосипедист затратил 2 ч 20 мин. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

30.9

Пусть $v$ (км/ч) — искомая скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города.

Согласно условию, на обратном пути (от турбазы до города) велосипедист снизил скорость на 4 км/ч. Это означает, что его первоначальная скорость (от города до турбазы) была на 4 км/ч больше. Таким образом, скорость от города до турбазы составляла $(v + 4)$ км/ч.

Расстояние в одну сторону равно 16 км.

Время, затраченное на путь от города до турбазы, равно: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{16}{v + 4}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь от турбазы до города, равно: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{16}{v}$ часов.

Общее время в пути составляет 2 ч 20 мин. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $2 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 2 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{7}{3}$ часов.

Общее время — это сумма времени в пути туда и обратно. Составим и решим уравнение: $t_1 + t_2 = \frac{7}{3}$

$\frac{16}{v + 4} + \frac{16}{v} = \frac{7}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 4)$: $\frac{16v + 16(v + 4)}{v(v + 4)} = \frac{7}{3}$

$\frac{16v + 16v + 64}{v^2 + 4v} = \frac{7}{3}$

$\frac{32v + 64}{v^2 + 4v} = \frac{7}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции: $3(32v + 64) = 7(v^2 + 4v)$

$96v + 192 = 7v^2 + 28v$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $7v^2 + 28v - 96v - 192 = 0$

$7v^2 - 68v - 192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-68)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-192) = 4624 + 5376 = 10000$

$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{68 + 100}{2 \cdot 7} = \frac{168}{14} = 12$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{68 - 100}{2 \cdot 7} = \frac{-32}{14} = -\frac{16}{7}$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -\frac{16}{7}$ не является решением задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на пути от турбазы до города равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.