Номер 30.15, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.15, страница 172.

Условие.

30.15 Моторная лодка прошла 5 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 1 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость движения лодки по течению реки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость движения лодки по течению реки. Тогда собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна разности скорости по течению и скорости течения: $v_{собст} = (x - 3)$ км/ч. Скорость лодки против течения, в свою очередь, равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{против} = v_{собст} - 3 = (x - 3) - 3 = (x - 6)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, можно найти по формуле $t = S/v$. Оно составляет $t_{по} = \frac{5}{x}$ ч.
Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_{против} = \frac{6}{x-6}$ ч.

По условию, общее время в пути равно 1 часу, следовательно, мы можем составить уравнение:
$t_{по} + t_{против} = 1$
$\frac{5}{x} + \frac{6}{x-6} = 1$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю. Так как скорость лодки против течения должна быть положительной, то $x-6 > 0$, откуда $x > 6$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-6)$ и решим уравнение:
$5(x-6) + 6x = x(x-6)$
$5x - 30 + 6x = x^2 - 6x$
$11x - 30 = x^2 - 6x$
$x^2 - 6x - 11x + 30 = 0$
$x^2 - 17x + 30 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 = 13^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x > 6$. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 6$, поэтому он является посторонним.
Следовательно, скорость лодки по течению реки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.