Номер 30.13, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.13, страница 172.

Условие.

30.13 Автобус-экспресс отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся от автовокзала на расстоянии 40 км. Через 10 мин вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v_б$ км/ч — скорость автобуса, тогда, согласно условию, скорость такси равна $(v_б + 20)$ км/ч. Расстояние, которое они должны проехать, составляет $S = 40$ км.

Время, которое автобус-экспресс затратил на весь путь, вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, время автобуса: $t_б = \frac{40}{v_б}$ часов.

Аналогично, время, которое такси затратило на тот же путь: $t_т = \frac{40}{v_б + 20}$ часов.

В задаче сказано, что такси выехало на 10 минут позже автобуса и они прибыли в аэропорт одновременно. Это означает, что время в пути у такси было на 10 минут меньше, чем у автобуса. Прежде всего, переведем 10 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы: $10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу во времени движения: $t_б - t_т = \frac{1}{6}$

Подставим в это уравнение выражения для времени автобуса и такси: $\frac{40}{v_б} - \frac{40}{v_б + 20} = \frac{1}{6}$

Для решения этого дробно-рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_б(v_б + 20)$: $\frac{40(v_б + 20) - 40v_б}{v_б(v_б + 20)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его: $\frac{40v_б + 800 - 40v_б}{v_б^2 + 20v_б} = \frac{1}{6}$ $\frac{800}{v_б^2 + 20v_б} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»): $1 \cdot (v_б^2 + 20v_б) = 800 \cdot 6$ $v_б^2 + 20v_б = 4800$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v_б^2 + 20v_б - 4800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Теперь найдем корни уравнения $v_б = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $v_{б1} = \frac{-20 + \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$ $v_{б2} = \frac{-20 - \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость транспортного средства не может быть отрицательной величиной, корень $v_{б2} = -80$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость автобуса $v_б = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость такси, которая на 20 км/ч больше скорости автобуса: $v_т = v_б + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса-экспресса составляет 60 км/ч, а скорость такси — 80 км/ч.