Номер 30.21, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.21, страница 173.

Условие.

30.21 Прогулочный теплоход отправился от пристани А к пристани В вниз по течению реки. После получасовой стоянки в В он отправился обратно и через $8 \text{ ч}$ после отплытия из А вернулся к той же пристани. Какова собственная скорость теплохода, если расстояние между пристанями А и В равно $36 \text{ км}$, а скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч. Тогда его скорость по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч. Важно отметить, что собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Теплоход прошел расстояние в 36 км от пристани А до пристани В по течению. Время, затраченное на этот путь, равно:

$t_1 = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{36}{x + 2}$ ч.

Затем теплоход прошел 36 км в обратном направлении против течения. Время, затраченное на обратный путь, равно:

$t_2 = \frac{S}{v_{против\;течения}} = \frac{36}{x - 2}$ ч.

Общее время поездки составило 8 часов. Это время включает в себя движение туда, обратно и получасовую стоянку (0,5 часа). Значит, чистое время движения теплохода составляет:

$T_{движения} = T_{общ} - T_{стоянки} = 8 - 0.5 = 7.5$ ч.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв сумму времени движения по течению и против течения к 7,5 часам:

$\frac{36}{x + 2} + \frac{36}{x - 2} = 7.5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:

$\frac{36(x - 2) + 36(x + 2)}{x^2 - 4} = 7.5$

$\frac{36x - 72 + 36x + 72}{x^2 - 4} = 7.5$

$\frac{72x}{x^2 - 4} = 7.5$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$72x = 7.5(x^2 - 4)$

$72x = 7.5x^2 - 30$

$7.5x^2 - 72x - 30 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все члены уравнения на 2:

$15x^2 - 144x - 60 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 3:

$5x^2 - 48x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-20) = 2304 + 400 = 2704$

Найдем корни уравнения: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 + 52}{2 \cdot 5} = \frac{100}{10} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 - 52}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -0.4$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Следовательно, собственная скорость теплохода составляет 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.