Номер 29.8, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.8, страница 167.

Условие.

29.8 a) $\frac{x+1}{x+5} - \frac{x-2}{x-5} = 1;$

б) $\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3;$

в) $\frac{3x+3}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1;$

г) $\frac{2x-2}{x+3} + \frac{x+3}{x-3} = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) $\frac{x+1}{x+5} - \frac{x-2}{x-5} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому $x+5 \neq 0$ и $x-5 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq -5$ и $x \neq 5$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+5)(x-5)$: $\frac{(x+1)(x-5)}{(x+5)(x-5)} - \frac{(x-2)(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$, чтобы избавиться от дробей:

$(x+1)(x-5) - (x-2)(x+5) = x^2 - 25$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 5x + x - 5) - (x^2 + 5x - 2x - 10) = x^2 - 25$

$(x^2 - 4x - 5) - (x^2 + 3x - 10) = x^2 - 25$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 4x - 5 - x^2 - 3x + 10 = x^2 - 25$

$-7x + 5 = x^2 - 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 7x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $-7$. Этим условиям удовлетворяют числа $-10$ и $3$. $x_1 = -10$, $x_2 = 3$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ. Оба корня ($-10$ и $3$) не равны $-5$ и $5$, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $-10; 3$.

б) $\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3$

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$. Умножим обе части уравнения на него:

$(3x-9)(x+1) + (x+6)(x-1) = 3(x-1)(x+1)$

Раскроем скобки:

$(3x^2 + 3x - 9x - 9) + (x^2 - x + 6x - 6) = 3(x^2 - 1)$

$(3x^2 - 6x - 9) + (x^2 + 5x - 6) = 3x^2 - 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 - x - 15 = 3x^2 - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 3x^2 - x - 15 + 3 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: произведение корней равно $-12$, сумма равна $1$. Корни: $4$ и $-3$. $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: $-3; 4$.

в) $\frac{3x+3}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Общий знаменатель: $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$. Умножим обе части уравнения на него:

$(3x+3)(x-2) - (x-1)(x+2) = 1(x^2 - 4)$

Раскроем скобки:

$(3x^2 - 6x + 3x - 6) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$

$(3x^2 - 3x - 6) - (x^2 + x - 2) = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 3x - 6 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$

$2x^2 - 4x - 4 = x^2 - 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 4x - 4 + 4 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$.

Оба корня ($0$ и $4$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 2$).

Ответ: $0; 4$.

г) $\frac{2x-2}{x+3} + \frac{x+3}{x-3} = 5$

ОДЗ: $x+3 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

Общий знаменатель: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$. Умножим обе части уравнения на него:

$(2x-2)(x-3) + (x+3)(x+3) = 5(x^2 - 9)$

Раскроем скобки:

$(2x^2 - 6x - 2x + 6) + (x^2 + 6x + 9) = 5x^2 - 45$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x^2 - 8x + 6 + x^2 + 6x + 9 = 5x^2 - 45$

$3x^2 - 2x + 15 = 5x^2 - 45$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$5x^2 - 3x^2 + 2x - 45 - 15 = 0$

$2x^2 + 2x - 60 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: произведение корней равно $-30$, сумма равна $-1$. Корни: $5$ и $-6$. $x_1 = 5$, $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$ и $x \neq 3$).

Ответ: $-6; 5$.