Номер 29.12, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.12, страница 167.

Условие.

29.12 a) При каких значениях a значения дробей $\frac{a - 3}{a + 2}$ и $\frac{3a - 7}{a + 5}$ равны?

б) При каких значениях a сумма дробей $\frac{3a + 9}{3a - 1}$ и $\frac{2a - 13}{2a + 5}$ равна 2?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти значения a, при которых дроби равны, необходимо приравнять их и решить полученное уравнение:

$\frac{a-3}{a+2} = \frac{3a-7}{a+5}$

Дроби определены, если их знаменатели не равны нулю. Это называется областью допустимых значений (ОДЗ).
$a+2 \neq 0 \implies a \neq -2$
$a+5 \neq 0 \implies a \neq -5$

Для решения уравнения используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$(a-3)(a+5) = (3a-7)(a+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$a^2 + 5a - 3a - 15 = 3a^2 + 6a - 7a - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2a - 15 = 3a^2 - a - 14$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$:

$0 = (3a^2 - a^2) + (-a - 2a) + (-14 + 15)$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Оба найденных значения, $a=1$ и $a=0.5$, входят в область допустимых значений ($a \neq -2$ и $a \neq -5$).

Ответ: $a=1$; $a=0.5$.

б) Чтобы найти значения a, при которых сумма дробей равна 2, составим и решим уравнение:

$\frac{3a+9}{3a-1} + \frac{2a-13}{2a+5} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$3a-1 \neq 0 \implies 3a \neq 1 \implies a \neq \frac{1}{3}$
$2a+5 \neq 0 \implies 2a \neq -5 \implies a \neq -2.5$

Для упрощения решения преобразуем каждую дробь, выделив в ней целую часть:

$\frac{3a+9}{3a-1} = \frac{(3a-1)+10}{3a-1} = \frac{3a-1}{3a-1} + \frac{10}{3a-1} = 1 + \frac{10}{3a-1}$

$\frac{2a-13}{2a+5} = \frac{(2a+5)-18}{2a+5} = \frac{2a+5}{2a+5} - \frac{18}{2a+5} = 1 - \frac{18}{2a+5}$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:

$(1 + \frac{10}{3a-1}) + (1 - \frac{18}{2a+5}) = 2$

$2 + \frac{10}{3a-1} - \frac{18}{2a+5} = 2$

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$\frac{10}{3a-1} - \frac{18}{2a+5} = 0$

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$\frac{10}{3a-1} = \frac{18}{2a+5}$

Используем свойство пропорции:

$10(2a+5) = 18(3a-1)$

Раскроем скобки:

$20a + 50 = 54a - 18$

Соберем слагаемые с a в одной части, а свободные члены — в другой:

$50 + 18 = 54a - 20a$

$68 = 34a$

$a = \frac{68}{34}$

$a = 2$

Полученное значение $a=2$ удовлетворяет ОДЗ ($a \neq \frac{1}{3}$ и $a \neq -2.5$).

Ответ: $a=2$.