Номер 29.9, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.9, страница 167.

Условие.

29.9 a) $ \frac{36}{x(x - 12)} - \frac{3}{x - 12} = 3; $

б) $ \frac{3x}{x - 1} - \frac{4}{x} = \frac{3}{x^2 - x}; $

в) $ \frac{45}{x(x + 15)} + \frac{3}{x + 15} = 1; $

г) $ \frac{5x}{x + 2} - \frac{20}{x^2 + 2x} = \frac{4}{x}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{36}{x(x-12)} - \frac{3}{x-12} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x(x-12) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 12$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-12)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{36}{x(x-12)} \cdot x(x-12) - \frac{3}{x-12} \cdot x(x-12) = 3 \cdot x(x-12)$

$36 - 3x = 3x(x-12)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартное квадратное уравнение:

$36 - 3x = 3x^2 - 36x$

$3x^2 - 36x + 3x - 36 = 0$

$3x^2 - 33x - 36 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 11x - 12 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 11$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$. Подбором находим корни: $x_1 = 12$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 12$). Корень $x_1 = 12$ является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1

б) $\frac{3x}{x-1} - \frac{4}{x} = \frac{3}{x^2-x}$

Разложим знаменатель в правой части на множители: $x^2 - x = x(x-1)$. Уравнение примет вид:

$\frac{3x}{x-1} - \frac{4}{x} = \frac{3}{x(x-1)}$

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель дробей — $x(x-1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3x \cdot x - 4(x-1) = 3$

$3x^2 - 4x + 4 = 3$

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4+2}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 0$). Корень $x_1 = 1$ является посторонним. Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) $\frac{45}{x(x+15)} + \frac{3}{x+15} = 1$

ОДЗ: $x(x+15) \neq 0$, следовательно $x \neq 0$ и $x+15 \neq 0$, то есть $x \neq -15$.

Общий знаменатель — $x(x+15)$. Умножим обе части уравнения на него:

$45 + 3x = 1 \cdot x(x+15)$

$45 + 3x = x^2 + 15x$

$x^2 + 15x - 3x - 45 = 0$

$x^2 + 12x - 45 = 0$

По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -12$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -45$. Корни уравнения: $x_1 = -15$ и $x_2 = 3$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -15$). Корень $x_1 = -15$ является посторонним. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3

г) $\frac{5x}{x+2} - \frac{20}{x^2+2x} = \frac{4}{x}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2+2x = x(x+2)$.

$\frac{5x}{x+2} - \frac{20}{x(x+2)} = \frac{4}{x}$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель — $x(x+2)$. Умножим все члены уравнения на него:

$5x \cdot x - 20 = 4(x+2)$

$5x^2 - 20 = 4x + 8$

$5x^2 - 4x - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-28) = 16 + 560 = 576 = 24^2$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{28}{10} = 2.8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 0$). Корень $x_2 = -2$ является посторонним. Корень $x_1 = 2.8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.8