Номер 29.16, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.16, страница 168.

Условие.

29.16 a) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0;$

б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0;$

в) $x^6 + 7x^3 - 8 = 0;$

г) $x^6 + 9x^3 + 8 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $x^3$. Чтобы его решить, введем замену переменной.

Пусть $y = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$. Подставив новую переменную в исходное уравнение, получим:

$y^2 - 7y - 8 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$:

1) $x^3 = y_1 = 8 \implies x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$

2) $x^3 = y_2 = -1 \implies x_2 = \sqrt[3]{-1} = -1$

Ответ: $-1; 2$.

б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $y = x^3$, тогда $x^6 = y^2$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 9y + 8 = 0$

Решим его. Можно применить теорему Виета: сумма корней равна $9$, а их произведение равно $8$. Отсюда корни $y_1=1$ и $y_2=8$. Либо найдем через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$

Корни для $y$:

$y_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Выполняем обратную замену:

1) $x^3 = y_1 = 8 \implies x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$

2) $x^3 = y_2 = 1 \implies x_2 = \sqrt[3]{1} = 1$

Ответ: $1; 2$.

в) $x^6 + 7x^3 - 8 = 0$

Сделаем замену $y = x^3$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 7y - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: сумма корней $-7$, произведение $-8$. Корни $y_1=1$ и $y_2=-8$. Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Корни для $y$:

$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Выполняем обратную замену:

1) $x^3 = y_1 = 1 \implies x_1 = \sqrt[3]{1} = 1$

2) $x^3 = y_2 = -8 \implies x_2 = \sqrt[3]{-8} = -2$

Ответ: $-2; 1$.

г) $x^6 + 9x^3 + 8 = 0$

Вводим замену $y = x^3$ и получаем квадратное уравнение:

$y^2 + 9y + 8 = 0$

Решим его. По теореме Виета: сумма корней равна $-9$, а произведение $8$. Корни $y_1=-1$ и $y_2=-8$. Проверим с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$

Корни для $y$:

$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 + 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 - 7}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Выполняем обратную замену:

1) $x^3 = y_1 = -1 \implies x_1 = \sqrt[3]{-1} = -1$

2) $x^3 = y_2 = -8 \implies x_2 = \sqrt[3]{-8} = -2$

Ответ: $-2; -1$.