Номер 29.22, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.22, страница 169.

Условие.

Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:

29.22 а) $(3x - 4)^2 - 5(3x - 4) + 6 = 0;$

б) $3(2x + 1)^2 + 10(2x + 1) + 3 = 0;$

в) $(5x + 1)^2 - 3(5x + 1) - 4 = 0;$

г) $2(7x - 6)^2 + 3(7x - 6) + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(3x - 4)^2 - 5(3x - 4) + 6 = 0$

Это биквадратное уравнение, которое можно решить методом введения новой переменной. Пусть $t = 3x - 4$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$:

1. Для $t_1 = 2$:

$3x - 4 = 2$

$3x = 2 + 4$

$3x = 6$

$x_1 = 2$

2. Для $t_2 = 3$:

$3x - 4 = 3$

$3x = 3 + 4$

$3x = 7$

$x_2 = \frac{7}{3}$

Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

б) $3(2x + 1)^2 + 10(2x + 1) + 3 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2x + 1$. Подставим ее в уравнение:

$3t^2 + 10t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$t_2 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = -3$:

$2x + 1 = -3$

$2x = -3 - 1$

$2x = -4$

$x_1 = -2$

2. Для $t_2 = -\frac{1}{3}$:

$2x + 1 = -\frac{1}{3}$

$2x = -\frac{1}{3} - 1$

$2x = -\frac{4}{3}$

$x_2 = -\frac{4}{3 \cdot 2} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-2; -\frac{2}{3}$.

в) $(5x + 1)^2 - 3(5x + 1) - 4 = 0$

Пусть $t = 5x + 1$. Заменяем выражение в исходном уравнении:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни:

$t_1 = 4$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену:

1. Для $t_1 = 4$:

$5x + 1 = 4$

$5x = 3$

$x_1 = \frac{3}{5} = 0.6$

2. Для $t_2 = -1$:

$5x + 1 = -1$

$5x = -2$

$x_2 = -\frac{2}{5} = -0.4$

Ответ: $-0.4; 0.6$.

г) $2(7x - 6)^2 + 3(7x - 6) + 1 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 7x - 6$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + 3t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$

$t_1 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Для $t_1 = -1$:

$7x - 6 = -1$

$7x = 5$

$x_1 = \frac{5}{7}$

2. Для $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$7x - 6 = -\frac{1}{2}$

$7x = 6 - \frac{1}{2}$

$7x = \frac{11}{2}$

$x_2 = \frac{11}{14}$

Ответ: $\frac{5}{7}; \frac{11}{14}$.